函数的导数与偏导数在经济学中的应用浅析.pdf

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1、综合论坛2014年2月（上）函数的导数与偏导数在经济学中的应用浅析龚江涛（武汉理工大学数学系，湖北武汉438000）摘要：本文主要讨论函数的导数和偏导数在经济学中的应用.用一些具体例题来加深理解.关键词：导数；偏导数；经济学；应用数学在经济学中的运用由来已久。数学当中的Δx是正的,两种物品中任意一个降低价格,都将使其xdxppp种种新的方法和新的思想到了近代更是大量的涌ε==lim⋅=()−5⋅=−中一个需要量减少,另一个需要量增加,所以它们Δ→p0Δpdpx5005−p100−p入到经济学中去,使得经济学变成了一门更加的严p是可以相互替代的.第二种都是负的,即降低它们谨的学科。

2、本文的思路就是先给定义,然后辅以例p中任何一个价格,需要量y和y都会增大.我们就由可知p等于25.12题说明。ε=−=1100−p说它们是互补的吧.1导数在经济学中的应用05

3、cxxcx()+Δ−(),它与Δx的比为份额小于价格降低的份额.,边际成本。当501,即在这一价格范(1)若pxy()00,0,0<<且fxyxx′′(),则f(x00,y)是极Δccxxcx(+Δ−)()围内,ε随p增加而增加,若我们这时提高价格,大值,=ΔΔxx,企业赚的钱也少了，因为需求下降的份额大于价格(2)若pxy(),0<>且f′′()xy,0,则边际成本为增加的份额.00xyΔccx(+Δxcx)−()通过上面例题的解答我们知道何时该提高价f(xy00,)是极小值,cx'()==limlimΔ→xx00ΔΔxxΔ→格,何时该降低价格.当弹性ε<1

4、,可以适当提高(3)若pxy()00,0>pxy()00,>0,则f(xy00,)不是极例1月制造量x吨(t)与收入L元的函数关价格.当弹性ε>1时,应该降低价格.值,2系为:L()xx=−30010,求当每月产量为10t、15t、2偏导数在经济分析中的应用(4)若pxy(,0)=,则f(xy,)是否为极值需000020t的边际利润.2.1边际生产率另做判别.解:由边际成本的定义:边际利润为总利润函我们用QQLK=(,)表示生产一种产品的生例3一个工厂制造产品A与B,每件卖价分别数的导数,表示产量为x吨时,总利润的变化率。产函数,其中产量为Q,L为投入的劳动力,K为为5元,4元,

5、制造它们的总成本依题知:资金.22是:200+++x2yx0.012()++xyy,怎样生产Lx′()=−30020,x那么劳动力L的边际生产率就是QLK(,)对的偏导数QLK′(),,QLK′(),的意思是资金收益最大?则当x=10,15,20时,LLLK和劳动力L固定时再多投入一个单位的劳动力产解:设Lxy(),表示产品A与产品B的生产x与yL′()10=−×=3002010100,量QLK(),的变化率.同理偏导数QLKK′(),是产量件时所得的总利润.L′()15=−×=30020150,QLK(),对资金K的边际生产率,即在投入劳动力LL()(xy,5=+−+++x42

6、y)⎡⎤0020xy.01(2xxyy22++)⎣⎦L′()20=−×=3002020−100和资金K固定时再多投入一个单位的资金对产量QLK(),的变化率.每月生产10吨时,再多生产1吨,利润将增长2.2边际需求⎧⎪Lxyx′(),=−40.014(xy+=)0100元,⎨A,B两种相关物品的需求量为yy,,价格为⎪⎩Lxy′y(),2=−0.0120(xy+)=每月生产15吨时,再多生产1吨,利润将增长12x,x.需求函数为解得驻点为，即不制造A产品，制造B0元,12()0,400每月生产10吨时,再多生产1吨,利润将减少yyxx111=(,2),yyxx22=(1,2).A

7、和B两种商品的边际产品400件.再由100元,LLL′′=−0.04;′′=−0.01;′′=−0.02xxxxyyy需求用y1和y2关于1和x2的偏导数来表示.此1.2弹性分析而∂∂∂∂yyyy1122,,,刻画一个变量对另一个变量变化时所作出改时有∂∂∂∂xxxx四个偏导数.其中物品2−41212A的需p[0,400]=−()0.01−−()0.04()−0.02=−×710<0变程度叫做弹性。弹性显示了一个变量相对于另一个变量的变求量y1对于x1的边际需求表示商品A的价格改