巧设弦中点 妙用作差法 破解三“弦案”.pdf

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1、2012年第1期·名师专题讲座巧设弦中点妙用作差法破解三“弦案’’■李兵由于弦中点取决于弦的两端点坐标和，弦斜率由弦的两M点对称得B(2x3+2，2y。)，·西一(-2，一)·端点坐标差而定，这对两端点坐标的孪生兄弟，互帮互助，它(2x3+2，2y3-y。)=4，结合弘一一专。得z3o。2—2，代们的直接关系孕育在设点、代人、作差之中，它在解决有关弦斜率、隐含弦中点的问题时，若巧设弦中点，妙用作差法，用弦入②解得=士．综上一土或=+2Vq-~中点坐标作辅助元，解法最简捷．评析：弦中点与弦斜率是弦垂

2、直g-分线的两个标志性特1．斜率为定值的弦征量，若巧设弦中点，妙用点差法，找出它们的直接关系，并以例1斜率为1的直线l与双曲线3x一y一1相交于不弦中点为桥梁，通过三个相等的斜率式，搭建出条件与结论的同的两点A、B，若A、B两点到直线4x—y一1一。的距离相间接关系．通常情况下，要考虑弦中点是否在轴上，即弦斜等，求直线z的方程．率是否存在．解：设A(z1，)，B(z2，2)，线段AB中点为推广2椭圆x2y2M(z。，y。)．由A、B两点在双曲线3x一y；1上得3x}一y{T—1(n>6>0)(或双

3、曲线薯一一一1，3x；一y；一1，两式相减得3(xl—z2)(1+z2)一1，a>0，6>O)的弦AB中点为M(z0，y。)(z。Yo≠0)，弦AB(yl—y2)(yl+y2)，其中zl+x2—2xo，y1+y2—2yo，yz—yz垂直平分线在Y轴上的截距为m，则有cY。一一m(或fY。：z1一2，从而得y0—3x。①，又A、B两点到直线4z—一=b2m)，其中f为半焦距．1—0的距离相等，弦AB中点M在直线4—一1—0上，得证：设A(z，Yt)，B(x2，Y2)，在椭圆中由推广1得4x。一y。一

4、1一o②，由①②两式解得x。一1，yo一3；求得直线b'：X0一一又弦AB垂直平分线斜率为二，由一生．z的方程为z—y+2一o．，口z口。．Y00y0评析：挖掘题目隐含条件，提示问题本质，巧设弦中点，妙一一1得cY0=-m；双曲线同理可证·用点差法，求该直线方程最简单．3．过定点的直角弦推广1椭圆n+寺D一1(n>6>o)、双曲线口一b2—1例3已知椭圆的中心是坐标原点，焦点在x轴上，离心(口>O，b>O)、抛物线一2px(p>0)的弦AB中点为率一--T，过椭圆左焦点F的直线交椭圆于P、Q两点，

5、M(。，y。)(y。≠O)，则依次对应下列关系式：b。x。+nAB3I。=O(a一6也成立)、bx0-aA丑o=0、^BoP．IPQI一，且j-，求此椭圆方程．证：设A(x1，y，)，B(z，Y2)，由于A、B两点在双曲线x2一手一1I-,则有事一4~-1①，薯一等一1②，其中Xl解一-T孚一丢m=2一--Fn设椭圆方程+2—2xo，y1+y2—2yo，①②两式相减得62zo—a2ABy0—为z+4y。=n，P(l，Y1)，0；椭圆与抛物线同理可证．Q(x2，Y2)，线段PQ中点为M(o，Yo)．

6、2．垂直平分的弦当=3c2时，f一，在椭圆方程,272+4z一z中，令=例2已知椭圆蓦+等=1(口>6>o)的离心率g：等，一c得一士b，由IPQI一弩得6一弩从而求得n=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．(1)求椭圆的方程；=不成立．中学生数理他．掌饼版(2)设直线z与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的当z≠2时，由P、Q两点在椭圆x+4y一12。得x}+坐标为(一口，0)，Q(o，y。)在线段AB的垂直平分线上，且4y}一口。，xl+4y；=口。，两式相减得(1-x2)(z1+2)

7、=·魂4，求的值．(2010高考天津卷文、理Ⅱ第2O题)解：不难求得椭圆方程为z。+4y一4．设A(z1，y)，一4(yl-z)(+z)，y~-yz一一，又三一yoB(2，y2)，线段AB中点为M(x3，3)，斜率为．当y3=0时，A(一2，o)、B(2，0)，·一得一一xo，即43一一。(。+譬)①；由_l-，(一2，一y0)·(2，一)一4，得y0一士2；IPQI一弩得z。2]-2=②；由椭圆第二定义得IPQI—当y≠O时，由A、B两点在椭圆z。+4y一4上得z{+IPFI十IQFI—P(+2

8、)+2n一，即√。=百2O一2口③4y；=4，；+4y；=4，两式相减得(1一z2)(z1+2)一，一4(yl—Y2)(+2)，即k=一x3；又是一愚AM：孺23；由将①代入②(z。)一号·。=，再将③代入上式得AM_JMQ~k一=x3，由此得一Y3x3Y3一Yo．273y3，解o—31一一(警一2n2a(20—2n)一，解得a=2．故所求椭圆方出Y3一一÷①，x3(z3+2)一一丢5②；由A，B两点关于程为+4v0=4．垦嬲·名师专题讲座2012年第1期中掌生数理亿．掌研版‘同时