dft递推算法及其应用

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1、第33卷第5期继电器VO.33NO.52005年3月1日RELAYMar.1，20051DFT递推算法及其应用高潮，郁惟镛（上海交通大学电气工程系，上海200240）摘要：谐波分析是信号处理的重要内容，在生产、研究中应用极其广泛。离散傅里叶变换（DFT）是利用采样数据计算信号的频谱的一种数学工具，其计算量较大，难以用于在线实时频谱分析。该文系统介绍了DFT的递推算法，较好地解决了这一问题。关键词：傅里叶变换；DFT；算法；递推中图分类号：TM744文献标识码：A文章编号：1003-4897（2005）0

2、5-0001-03令I+m=I，则有0引言N-1+m（II-m）Y（I）="（x（I））NWN=1965年COOey和Tukey提出FFT，其本质上是I=mN-1+m一种计算技巧。FFT及其各种改进算法大大提高了-ImIIWN"（x（I））NWNDFT的运算时间。FFT是对一组孤立数据的快速算I=mII法，而很多应用场合要求对信号连续不间断地采样，上式中（x（I））NWN以N为周期，所以在任何一个周并实时计算其谐波分量，对此可以使用计算量更小期上求和结果相同。取I为0，1，⋯，N-1，则N-1N-1的递

3、推算法。-ImII-ImIIY（I）=WN"（x（I））NWN=WN"（xI）WN=I=0I=01递推算法W-ImX（I）证毕。N设符号“（（I））N”表示I对N求余，即如果I=设对某一模拟周期信号每周波采样N次，采样间隔为"T，I"T时刻采样值为x（I"T），简记为pN+r，0!r!N-1，I、N、p、r均为整数，则（xI），即采样序列为｛（x0），（x1），（x2），⋯⋯｝。设（（I））N=r。有限长序列xm（I）=｛（xm-N+1），⋯，（xm）｝的矩形序列定义为：N-11，0!I!N-1DFT为

4、X（I）=（xm-N+1+I）WII则根据循R（I）=m"NN{0，I等于其他I=0环移位定理有限长序列x1m（I）=xm（（I-（（m））N设x（I）是一个长度为N的有限长序列，则-1））NR（NI）的DFT为（xI）的N点离散傅里叶变换（DFT）定义为：［I（（m））N+1］N-1X1m（I）=WNXm（I）（1）IIX（I）=DFT［（xI）］="（xI）WN，这就是联系下面Xm（I）和X1m（I）两种递推算I=0法的关系式。I=0，1，⋯，N-1通常我们计算Xm（I），从上式可见X1m（I）的模

5、2!其中：WN=exp（-N）。与Xm（I）的模相同。有限长序列x1m-（1I）的DFTDFT的循环移位（圆周移位）定理：设x（I）是为X1m-（1I）。而实际上序列x1m（I）只是把序列长度为N的有限长序列，y（I）=x（（I+m））Nx1m-（1I）中的（xm-N）换成了x（m），其他元素不-Im动。所以得递推公式R（NI），则Y（I）=DFT［（yI）］=WNX（I），其中（I（m））NX（I）=DFT［（xI）］，0!I!N-1。X1m（I）=X1m-（1I）+［（xm）-（xm-N）］WN证明

6、：（2）N-1另外，由DFT的定义容易知道有以下递推公式IIY（I）=DFT［（yI）］="（x（I+m））NRN（I）WN=X（I）=X（I）W-I+［x（m）-x（m-N）］·mm-1NI=0（IN-1）N-1WN=［Xm-（1I）+（xm）-（xm-N）］·II"（x（I+m））NWN-II=0WN（3）2继电器当采样数据是实数时，递推公式（2）计算量是3时刻可以当作是故障发生时刻。而使用递推算法次实数加法和2次实数乘法，递推公式（3）计算量时，可以不设置启动元件。这样就不知道准确的故是4次实数加

7、法和4次实数乘法。公式（2）稍好一障起始时刻，这对保护延时有影响。另一个问题是，些。另外X1m（I）的相角是稳定不变的，它取决于最故障确认要进行多少个采样点？初采样时刻的相角，而Xm（I）的相角是随着m的改由于没有启动元件，故障发生时刻到递推算法2!I发现故障之间的时间无法准确得知。假设递推算法变以为步长不断跳变的。公式（1）正是反映了N在故障后一个周波时才发现故障，于是延时误差应这种关系。但是计算X1m（I）时，每次乘的系数在110ms之内。实际上仿真计算显示，故障电流（（Im））NWN是不同的，这比

8、Xm（I）稍麻烦一些。综合稍大一些的情况下，常常不到半个周波就可发现故考虑，实际计算中用X1m（I）更好一点。障。如果实时性允许，也可以每采样2、3、⋯⋯个点关于故障确认要多少点的问题，较保守的做法后进行一次递推计算，这样其他任务可以获得更多是确认N（每周波采样点数）点。这种办法最坏情的执行时间。这种情况仍然是X1m（I）计算量更小况可能要故障后2个周波才确认故障，这对于带延一点。时的保护没什么问题，对速断保护则希望能更早确认故障。仿真计算