不等式的证明（二）.doc

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1、第六章　不等式第七课时§6.3.2　不等式的证明（二）教学目标（一）教学知识点1．公式法证明不等式.2．两正数和为定值或积为定值求最值.（二）能力训练要求1．掌握用公式法证明不等式.2．理解并掌握用两正数和为定值或积为定值求最值.（三）德育渗透目标利用公式法证明不等式，既培养学生观察应变的逻辑思维能力，又培养学生实事求是的科学态度，进一步加强对学生辩证唯物主义观念的教育.教学重点公式法证明不等式.1．a，b∈R，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，取等号.2．a＞0，b＞0，，当且仅当a＝b时取等号.（1）若ab为定值P，则当a＝b时，a＋b

2、有最小值.（2）若a＋b为定值S，则当a＝b时，ab有最大值S2.3．利用求最大值最小值是解决最值问题常用的方法，在具体解题过程中应注意三点：（1）两数均为正数；（2）两正数之和或之积为定值；（3）在两正数的取值范围内，两正数可以相等.教学难点　　1．对一些条件不等式中条件的合理利用.2．求最值时，找和为定值或积为定值，如何凑和或积为定值.教学方法读、议、练、讲单元教学法.教具准备幻灯片两张第一张：记作§6.3.2A公式法证明不等式一、基本公式（1）若a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取“＝”号.（2）若a，b∈R，则，当且仅当

3、a＝b时取“＝”号.①若ab为定值P，则当a＝b时，a＋b有最小值2.②若a＋b为定值S，则当a＝b时，ab有最大值S2.二、基本公式的等价形式及推广（1）ab≤（a，b∈R），当且仅当a＝b时取“＝”号.（2）ab≤，当且仅当a＝b时取“＝”号.（3）≥2(ab＞0)，当且仅当a＝b时取“＝”号.第二张：记作§6.3.2　B基本公式及其推广的应用：［例1］已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求证：（1）；（3）（5）（7）（8）（9）教学过程Ⅰ．课题导入今天，我和同学们来共同探索“公式法”证明不等式.这节课并不难，而涉及的题目变形灵活，只要我们

4、理解并掌握了“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数（均值不等式）”，这一重要定理，在此基础上，灵活利用它的推广及其变形（几个重要的不等式），就能学会并把握好“公式法”证明不等式这一重要方法.相信同学们能获得成功.（打出幻灯片§6.3.2A，引导学生阅读基本公式及基本公式的变形及推广）我们要重点掌握下面的基本公式及变形：（1）若a，b∈R，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取“＝”号.（2）若a＞0，b＞0，，当且仅当a＝b时取“＝”号.①若ab为定值P，则当a＝b时，a＋b有最小值.②若a＋b为定值S，则当a＝b时，ab有最大值S2.（

5、3）a，b∈R，则ab≤，当且仅当a＝b时取“＝”号.（4）a＞0，b＞0，则ab≤，当且仅当a＝b时取“＝”号.（通过阅读幻灯片§6.3.2　A，疏理出重点知识，引导同学们完成下面例1的证明过程）Ⅱ．讲授新课（打出幻灯片§6.3.2　B，引导学生阅读例1）［例1］已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求证：（1）≥4；（2）（6）（9）［师］解题时，正确、迅速地把握解题的“切入点”是很重要的，而“切入点”的选择，一方面要依靠对题设的分析，另一方面来自解题的“经验”.本题中由目标不等式发现含有形如ab，a＋b，a2＋b2等式子，故由“经验”马上联想

6、公式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)及（a＞0，b＞0），即可很快得证.在不等式证明中，两个正数a，b的和为1（即a＋b＝1），作为条件出现在题设，这时用好这个“1”常常成为解题的关键.［生］（1）∵a＞0，b＞0，（2）∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2·（故a2＋b2≥.（3）∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1，∴··＝8，故（4）∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1，∴a3＋b3＝(a＋b)3－3ab(a＋b)，＝1－3ab≥1－3·，或a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a2＋b2－ab

7、＝(a＋b)2－3ab＝1－3ab≥1－3·，故a3＋b3≥.（5）∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1，∴（6）∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1，∴≥·≥9.（7）∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1，∴＝··，故（1－）（8）∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1，∴（a＋）2＋·，故（9）∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1，∴＝·，故注：以上各题中均当且仅当a＝b＝时取等号.［师生共析］运用“公式法”证明不等式的难点在于如何通过对所证命题进行变形，使其反应出某种形式的“和”与“积”之间的关系（不妨简记为“和”不小于“积”）.那么，我们在解题时，就可以充分利用这一特

8、征，来选择公式及其等价形式求得证明.［例2］（必要时此题可打在幻灯片上）小强家住在农村，十月一日，国庆节放假回家，正赶上父亲收割庄稼，由于今年大丰收粮