具有饱和接种率的传染病模型的稳定性.pdf

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1、第38卷第5期江西师范大学学报（自然科学版）Vol.38No.52014年9月JournalofJiangxiNormalUniversity（NaturalScience）Sep.2014文章编号：1000-5862（2014）05-0526-05具有饱和接种率的传染病模型的稳定性王爱丽（宝鸡文理学院数学系，陕西宝鸡721013）摘要：考虑到实践中有一部分人不愿意接种疫苗，引入1个阈值参数，建立了1个具有饱和接种率的传染病模型，以刻画资源有限情况下的接种策略.定义了模型的基本再生数，讨论了无病平衡点和地方病平衡点的存在性以及全局稳定性.结果表明：一方面人群中不愿接种者的比例

2、影响疾病的消除与否以及不能消除时染病者的比例；另一方面可以适当增加存储疫苗的数量，使得当疾病不能被消除时，染病者的数量可以稳定在一个医疗条件允许的预先设定的水平.关键词：饱和接种率；传染病模型；全局稳定性中图分类号：O175文献标志码：A相当一部分人不愿接种疫苗.例如，2009年当甲型0引言H1N1爆发时，一家媒体调查显示有54%的人都不愿接种疫苗.基于此，本文采用1个含有阈值参数的预防接种是人类抵御传染病侵袭最重要、最有饱和函数表示接种比例，以刻画接种策略仅对于自效的措施，也是一个国家和地区科学技术发展和公愿接种的人有效，且医疗资源允许下的接种人数是共卫生形象的具体体现.目

3、前我国已成为世界上最有限的.将人群分为3大类：易感者、感染者和接种广泛使用疫苗的国家之一.我国免疫规划全面展开，疫苗的人，则模型为已扩大到14种疫苗，可预防包括狂犬病、黄热病、小ìdS（t）h（S-ST）=Λ-βSI-μS-，儿麻痹症、乙肝等传染病在内的15种疾病.因此，设ïdth+（S-ST）ïï计一种有效地接种疫苗的策略以控制传染病的爆d（It）í=βSI-μI-εI，发、减小传染病爆发时的影响以及降低接种疫苗的ïdt成本已成为医务人员和科研工作者关注的热点问题ïïdV（t）h（S-ST）î=-μV+εI，［1-8］dth+（S-S）之一.常用的接种策略有2种，即连续的接

4、T种［9-10］和脉冲式的接种［11-15］，但是这些策略都没有其中S，I，V分别表示人群中易感者、染病者和接种考虑医疗资源的有限性.根据卫生部的报道，2009疫苗者的比例，假设接种后将终生具有免疫力.年当甲型H1N1流感爆发时，由于没有足够的疫苗，h（S-ST）［h+（S-ST）］为免疫接种函数，ST表在不同的省份以及不同年龄阶段的人群，接种策略示不愿接种的人占人群总数的比例，h表示该地区均不同.存储疫苗所能接种的易感者的最大比例.注意到1经典的传染病模型总是假定接种比例与易感者个地区拒绝接种的人毕竟是少数，而所存储疫苗能的数量成正比，这要求一个国家或地区所能提供的接种的最

5、大人数往往比较大，所以假设h>ST是合疫苗数量非常大，因此，它是不合理的.实际上，每个理的.其他参数均为正数，其中μ表示自然出生率国家或地区所存储的疫苗数量都是有限的.实践中，（自然死亡率），β表示传染率，ε表示对染病者的治一方面，随着人群中易感者比率的增加接种比率也愈率，并且假设一旦治愈将终身具有免疫力.实践中会增加，但不会无限地增加，一旦达到所能提供的疫人群的输入率总是大于该地区所存储疫苗能最多接苗的最大数量，就会维持在这个水平不变.另一方种的易感者比例，从而总可以假设μ>h.面，传染病爆发时，因为价格偏高、防疫意识差导致注意到V不影响前2个方程的动力学，故以下收稿日期：

6、2014-02-20基金项目：陕西省教育厅科研计划（2010JK399）和宝鸡文理学院重点科研计划课题（ZK11129）资助项目.作者简介：王爱丽（1978-），女，陕西旬邑人，副教授，博士，主要从事生物数学方面的研究.第5期王爱丽：具有饱和接种率的传染病模型的稳定性527只须考虑简化方程E（S，0），其中S如（3）式所定义.000dS（t）h（S-ST）（ii）若以下任意1组条件成立：=μ-βSI-μS-，dth+（S-ST）（1）（C1）μ（μ+ε）-β（μ-h）≤0；d（It）=βSI-μI-εI.（C2）μ（μ+ε）-β（μ-h）>0，ST>ST0，dt则模型（2）

7、存在唯一的地方病平衡点E（S，I），不难证明以下结论：这里S如（4）式所定义，引理1模型（1）的吸引域为Ω=｛（S，I）∈222I=［βh-μ（μ+ε）-βμ（μ+ε）（h-S）+T2R+S+I≤1｝.2β（h-ST）（μ-h）+β（μ+ε）（μ-h）］｛β（μ+ε）［β（h-ST）+（μ+ε）］｝.1平衡态的存在性注意到I2222模型（1）的无病平衡点满足方程sgn=sgn｛β（μ+ε）［βh-μ（μ+ε）-STI=0，2βμ（μ+ε）（h-ST）+β（h-ST）（μ-h）+β（μ