奇异超线性边值问题的正解.pdf

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1、第18卷第1期工程数学学报Vol.18No.1ZOO1年OZ月F:.ZOO1JOURNALOFENGINEERINGMATHEMATICS文章编号:1OO5-3O85(ZOO1)O1-O1Z7-O4奇异超线性边值问题的正解毛安民(曲阜师范大学数学系山东曲阜Z73165)摘要:在f超线性时研究了边值问题z~+f(tz)=Oz(O)=z(1)=O正解的存在性推广了一些已知结果O关键词:奇异边值问题;锥;正解分类号:AMS(1991)34B15;34BZ5中图分类号:O175.8文献标识码:A1引言常微分方程奇异边值问题解的存在性已有很多研究其中对于次线型奇异边值问

2、题研究较多参见文[1~3]O由于超线性和次线性问题有本质区别使得超线性问题研究比较慢这方面的文献也较少文[4]研究超线性边值问题其关键假设为limz-O(f(z)/z)=Olimz->(f(z)/z)=>作为主要结果得到了解存在的充分条件O本文目的是研究更一般的奇异边值问题~z+f(tz)=Ot(O1){(1)z(O)=z(1)=O解的存在性Of允许在端点t=Ot=1处具有奇性O本文结果推广了文[4]的定理1而本文的证明方法本质上不同于文[4]O设G为边值问题(1)的格林函数即t(1-S)OStSSS1G(tS)={S(1-t)OSSStS1易看出G(tS)S

3、G(SS)OStSS1本文的主要结果如下定理1设函数f满足以下假设(H1)fC((O1)>[O>)[O>))f(tI)SP(t)G(I)其中GC([O>)[O>));PC((O1)[O>))P(t)SOt(O1);收稿日期:1999-O6-O7.作者简介:毛安民(1973年11月生)男硕士助教.主要是进行非线性微分方程的研究基金项目:国家自然科学基金(19871O47)及山东省自然科学基金(Y97A1ZO17)资助项目.128工程数学学报第18卷1(H2)t(1-t)p(t)EL(O,1);g(I)f(t,I)(H3)IimI-O+=O,IimI-OmitE[

4、1,3]=O,IAAI则边值问题(1)存在至少一个正解注1本文主要结果的特点是没有使用单调性条件,而该条件是[1~3]的关键条件2主要结果的证明记E=C[O,1],为E的最大值范数首先,定义映射A为1+AU(t)=G(t,s)f(s,U(s))ds,VUEC[O,1],(2)O其中,C++++[O,1]={UEE:U(t)2O,tE[O,1]};易证A:C[O,1]-C[O,1],若UEC2[O,1]且AU=U,则UEC[O,1]NC(O,1),U满足(1)于是仅需研究算子方程:+AU=U,UEC[O,1](3)设DCC++[O,1]为任意有界集,即存在M>O

5、使USM,VUEC[O,1];定义:SUPg[O,M]=SUP{g(y)yE[O,M]}则有,VUED,tE[O,1],1AU(t)=G(t,s)f(s,U(s))dsO1SG(t,s)p(s)g(U(s))dsO1SSUPg[O,M]s(1-s)p(s)ds(A)O由条件(H知A映有界集D为有界集,对VtE(O,1),UED,2)t1/(AU)(t)=-sf(s,U(s))ds+(1-s)f(s,U(s))dsOtt1Ssp(s)g(U(s))ds+(1-s)p(s)g(U(s))ds(5)Ott1SSUPg[O,M](sp(s)ds+(1

6、-s)p(s)ds)Ot:=SUPg[O,M]Y(t)t1其中Y(t)=1sp(s)ds+(1-s)p(s)ds验证Y(t)EL(O,1),结合交换积分次序得Ot11t1Y(t)dt=(sp(s)ds+(1-s)p(s)ds)dtOOOt1t11=sp(s)dsdt+(1-s)p(s)dsdtOOOt111s=sp(s)dsdt+(1-s)p(s)dsdt(6)OsOO1=2s(1-s)p(s)ds

7、Pg[O,M]Y(t)dt(7)tt11由式(6)与(7)即知A(D)是等度连续的,又由式(A)知A(D)为有界集,故++A:C[O,1]-C[O,1]是紧算子第1期毛安民:奇异超线性边值问题的正解129下证:C++[01]-C[01]是全连续算子o设U+n-U0Un

8、SE<01Dn=123~由条件知Ign