第四章 线性系统的根轨迹分析法

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1、主要内容根轨迹的基本概念绘制根轨迹的基本条件和基本规则广义根轨迹利用根轨迹分析系统的性能第四章线性系统的根轨迹分析法本章阐述了控制系统的根轨迹分析方法。包括根轨迹的基本概念、绘制系统根轨迹的基本条件和基本规则,参量根轨迹和零度根轨迹的概念和绘制方法，以及利用根轨迹如何分析计算控制系统的性能（稳定性、暂态特性和稳态性能指标等）。本章重点本章主要内容学习本章内容,应重点掌握根轨迹的基本概念、绘制根轨迹的条件、系统根轨迹的绘制规则和利用根轨迹分析系统的稳定性、暂态特性和稳态性能,参量根轨迹的概念和绘制方法,理解零度根轨迹的基本概念和绘制方法。§4—1根轨迹

2、的基本概念系统特征根的图解方法根轨迹：当系统某一参数在规定范围内变化时，相应的系统闭环特征方程根在s平面上的位置也随之变化移动，一个根形成一条轨迹。广义根轨迹:系统的任意一变化参数形成根轨迹。狭义根轨迹（通常情况）：变化参数为开环增益K，且其变化取值范围为0到∞。闭环极点（即闭环特征方程根）闭环控制系统稳定性、瞬态响应特性问题:当系统的某些参数（如开环增益）变化时，反复求解，不方便,有没有简便分析方法?若闭环系统不存在零点与极点相消，闭环特征方程的根与闭环传递函数的极点是一一对应的。K＝0时两个负实根K值增加相对靠近移动离开负实轴，分别沿s=-1/2

3、直线向上和向下移动。一对共轭复根开环增益K从零变到无穷，可以用解析方法求出闭环极点的全部数值。根轨迹与系统性能稳定性：开环增益由0→∞，考察根轨迹是否进入s右半平面。稳态性能：开环传递函数在坐标原点有一个极点，系统为Ⅰ型系统，根轨迹上的K值就是静态误差系数。一般情况下，根轨迹上标注出来的参数K不是开环增益,而是根轨迹增益，根轨迹增益与开环增益之间有一个比例常数关系。动态性能由K值变化所对应的闭环极点分布来估计。根轨迹图→系统的相关动静态性能信息极点位于负实轴上，过阻尼系统，阶跃响应为非周期过程；实数极点重合，临界阻尼系统，阶跃响应为非周期过程；复数极

4、点，欠阻尼系统，阶跃响应为阻尼振荡过程。1）闭环极点不可能出现在S平面右半部，系统始终稳定。系统开环增益确定闭环极点在S平面上的位置也确定。2）当K值确定之后，根据闭环极点的位置，该系统的阶跃响应指标便可求出。如：二阶系统的根轨迹根轨迹增益从零变到无穷，可以用解析方法求出闭环极点的全部数值。对于高阶系统，不能用特征方程求根的解析方法得到根轨迹。根轨迹法即图解法求根轨迹，是从开环传递函数着手，通过图解法来求闭环系统根轨迹。故还需要研究闭环零、极点与开环零、极点之间的关系。闭环零、极点与开环零、极点间的关系前向通道根轨迹增益反馈通道根轨迹增益前向通道增

5、益开环系统根轨迹增益:前向通道零点反馈通道零点前向通道极点反馈通道极点m个零点(m=f+l)n个极点(n=q+h)3）闭环系统根轨迹增益=开环系统前向通道的根轨迹增益。1）闭环系统的零点=前向通道的零点+反馈通道的极点；2）闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及开环系统根轨迹增益均有关；根轨迹法任务：由开环系统的零、极点分布及根轨迹增益，不通过解闭环特征方程，用图解法找出闭环极点。单位反馈系统（1）闭环系统的零点就是开环系统的零点。（2）闭环系统的根轨迹增益就等于开环系统的根轨迹增益；§4—2绘制根轨迹的基本条件和基本规则一、绘制根轨迹的相角条件和

6、幅值条件二、绘制根轨迹的基本规则三、闭环极点的确定一、绘制根轨迹的幅值条件和相角条件根轨迹方程:m个零点，n个极点（nm）幅值条件：1）幅值条件不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹增益有关；2）必要条件：根在轨迹上则幅值条件成立。相角条件：（k=0,1,2,…）1）幅角条件只与开环零、极点有关2）充要条件：根在轨迹上相位条件成立，相位条件成立根在轨迹上幅值条件K＝2幅值条件成立！不是根轨迹上的一点根轨迹上的一点必要条件：S平面上的某一点s是根轨迹上的点，则幅值条件成立；S平面上的任一点s满足幅值条件，该点却不一定是根轨迹上的点。幅值条件是必要条件

7、开环极点（“×”）p1=0,开环零点（“〇”）幅角均以逆时针方向进行。如果相角条件成立，则s1即根轨迹上的一个点。1开环零点至s1的幅角1、2、3、4：开环极点至s1的幅角。由幅值条件相角条件绘制根轨迹，幅值条件定K值单位反馈系统的开环传递函数一个开环极点:P1=0对负实轴上一点：s1对s2=-1-j负实轴上都是根轨迹上的点！负实轴外的点都不是根轨迹上的点！举例根轨迹示例1j0j0j0j0j0j00j0j0jj00j根轨迹示例2j0j0j00jj0j0j0j00jj00jj0二、绘制根轨迹的基本规则1.根轨迹的起点和终点2.根轨迹分支数3.

8、根轨迹的连续性和对称性4.实轴上的根轨迹5.根轨迹的渐近线6.根轨迹的分离点7.根轨迹的起始角和终止角8.根