一道常见概率题目的错解.pdf

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1、2014年9月教育教学论坛Sep．2Ol4第38期EDUCATIONTEACHINGFORUMNO．38一道常见概率题目的错解张良，徐钊(西北农林科技大学理学院，陕西杨凌712100)摘要：正态分布是我们最常见最重要的分布之一，它不仅具有重要的实际应用背景和理论价值，还具有很多重要的性质；相关系数是重要的数字特征之一。我们给出数学教学中同学们对一道关于正态分布和相关系数关系的常见题目的错解并进行分析解答。关键词：协方差；相关系数；概率中图分类号：G642．3文献标志码：A文章编号：1674—9324(2014)38—0127—0

2、2协方差和相关系数是概率论课程中两个重要的数字特者等价的结论可知随机变量x和z是相互独立的。征【ll2】。教学中我们经常遇到有些同学错解下列题目。分析：根据协方差的性质可知第一问的解答是正确的，例：已知随机变量x与Y分别服从N(1，3)和N但是第二问的解答却是错误的。错误的主要原因是学生对(1，4)，x与Y的相关系数P一，令z=了1x+Y，问：二维正态分布与随机变量之间的关系没有理解清楚。具体二二原因如下：(1)X与Z的相关系数；由题意知PXY=1，所以随机变量x和随机变量Y不(2)X与z是否相互独立?为什么?教学过程中发现，学

3、习了二维正态分布和随机变量的相互独立(如果两个随机变量相互独立则相关系数为0)。独立性之后，很多同学的解答如下：因此，我们不能得到随机变量x和随机变量Y的线性组合解答：(1)由题意知：D(x)=3。，D(Y)=4；根据协方差的z=1x+1Y服从正态分布；退一步讲，如果随机变量z服定义和性质得jZ／11＼1从正态分布，我们也不能得到正态随机变量x和正态随机Cov(X，Z)=Covc＼x，}Jx+}厶Y／l=}jCov(x，x)+二1C0v变量z服从二维正态分布(边缘分布为正态分布的二维随机变量，其联合分布不一定是正态分布)。我们举

4、例说明如(x，Y)=1D(x)+1PxYx／-DTX)-、／=3—3=0；j下：(2)由二维正态随机变量相关系数为零和相互独立两例：令二维随机变量(x，Y)的联合概率密度函数为：11]上用罗尔定理，存在一个∈(0，)(0，1)使得()=O证明：因为O

5、f'()()=0，试证：至少存在一点∈(0，)，使得f．’()=，又因为f()在【，b】上满足D—a二’II盟拉格日中值定理，所以3∈∈(，b)使得二：f’(∈)，l一分析()===>f’’()(1-2~)一2f'()=ft()jfI’(x)由上面二式可得P(毫)=f()，∈，11(a，b)(1-2x)一2ft(x)：f．(x)(x)(1-2x)]’=f'(x)fl(x)(1-2x)=例8设f(x)在[0，1】上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(x)+c=f'(x)(1-2x)一f(x)=0=F(x)=f’(x)(1

6、—2x)一f(x)f(1)=1，试证：对任意给定的正数a，b，在(0，1)内存在不同证明：令F(x)=f’(x)(1—2x)一f(x)，显然在[0，1]上连的∈，11，使南+-a·续，在(0，1)内可导，证明：因为a与b均为正数，所以0

7、，则至少(0)=(．r—o)e(善)，毫∈(0，)，f(1)一f(r)=(1-r)f()，∈存在一点∈(0，1)，使得()=O即f．’()(1-2~)一3f’()(，1)，注意到f(0)=0，f(1)=1，于是，由上面两式有T-f(r)一al_0'亦即P(∈)一a+b‘f’(∈)’1一呵：可：．。，’上面凹两式相加刖得侍1：三、证明在(a，b)内至少存在，r／。≠叼满足某种个代数式成立砥+’从而f证题方法：用两次拉氏中值定理，或者使用两次柯西中值定理，或者使用一次拉氏中值定理、一次柯西中值定理。例7设f(x)在a，b】上连续，在

8、(a，b)内可导，O