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1、49、BFAFDAECM矩形ABCD与矩形ABEF的公共边为AB，且平面ABCD平面ABEF，如图所示，FD，AD=1，EF=．（Ⅰ）证明：AE平面FCB；（Ⅱ）求异面直线BD与AE所成角的余弦值（Ⅲ）若M是棱AB的中点，在线段FD上是否存在一点N，使得MN∥平面FCB？证明你的结论．解：(1)平面ABCD平面ABEF,且四边形ABCD与ABEF是矩形,AD平面ABEF,ADAE,BC∥ADBCAE又FD=2,AD=1,所以AF=EF=,所以四边形ABEF为正方形.AEFB,又BFBF平面BCF，BC
2、平面BCF所以AE平面BCF……………………………………………4分(2)设BFAE=O,取FD的中点为H,连接OH,在OH//BD,HOF即为异面直线BD与AE所成的角(或补角),在中,OH=1,FH=1,FO=,cosHOF=异面直线BD与AE所成的角的余弦值为………………………….8分(3)当N为FD的中点时,MN∥平面FCB证明：取CD的中点G,连结NG，MG，MN，则NG//FC,MG//BC,又NG平面NGM，MG平面NGM且NGMG=G所以平面NGM//平面FBC,MN平面NGMMN//平
3、面FBC……………………………………………………………12分50、(河北省正定中学2008年高三第五次月考)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E是BC的中点。(1)求异面直线AE与A1C所成的角；(2)若G为C1C上一点，且EG⊥A1C，试确定点G的位置；(3)在（2）的条件下，求二面角A1-AG-E的大小（文科求其正切值）。解：（1）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C，则AE∥A1E1，∴∠E1A1C是异面直线AE与A1C所成的角。设，则中，。所以异面直线AE与A1C所成的角为。----
4、--------------4分（2）.由（1）知，A1E1⊥B1C1,又因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱⊥BCC1B1,又EG⊥A1CCE1⊥EG.∠=∠GEC~即得所以G是CC1的中点------------------------------8分（3）连结AG,设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q,连EP,EQ,则EP⊥AC.又平面ABC⊥平面ACC1A1EP⊥平面ACC1A1而PQ⊥AGEQ⊥AG.∠PQE是二面角C-AG-E的平面角.由EP=a,AP=a,PQ=,得所以二面角C-
5、AG-E的平面角是arctan，而所求二面角是二面角C-AG-E的补角，故二面角的平面角是π－arctan------------------------12分（文）二面角的平面角的正切值为－。------------------------12分45、(广东省五校2008年高三上期末联考)已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE=x，G是BC的中点。沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图).(1
6、)当x=2时，求证：BD⊥EG；(2)若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f(x)，求f(x)的最大值；(3)当f(x)取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值.解:（1）（法一）∵平面平面,AE⊥EF,∴AE⊥面平面,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-xyz。……………………………………………1分则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0）…………2分xyz（－2，2，2），（2，2，0）……………………………………
7、……………3分H（－2，2，2）（2，2，0）＝0，∴……………………………4分（法二）作DH⊥EF于H，连BH，GH，……………1分由平面平面知：DH⊥平面EBCF，而EG平面EBCF，故EG⊥DH。又四边形BGHE为正方形，∴EG⊥BH，BHDH＝H，故EG⊥平面DBH，…………………3分而BD平面DBH，∴EG⊥BD。…………………4分（或者直接利用三垂线定理得出结果）（2）∵AD∥面BFC，所以VA-BFC＝＝4(4-x)x………………………………………………………………………7分即时有最大值
8、为。…………………………………………………………8分（3）（法一）设平面DBF的法向量为，∵AE=2,B（2，0，0），D（0，2，2），H_EMFDBACGF（0，3，0）,∴（－2，2，2）,………………………………9分则，即，取x＝3，则y＝2，z＝1，∴面BCF的一个法向量为……………………………12分则cos<>=…………………………………………13分由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为－……………14分（法二）作D
