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1、----高一数学必修一函数专题（教师版）一.函数的奇偶性.（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称.（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：①定义法；f(x)f(x)0②利用函数奇偶性定义的等价形式：f(x)1（f(x)0）.f(x)③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称.（3）函数奇偶性的性质：①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其
2、单调性恰恰相反.②若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)f(
3、x
4、).③若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)0.④奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称.二.函数的单调性1.函数单调性的定义：（1）如果函数fx对区间D内的任意x1,x2，当x1x2时都有fx1fx2，则fx在D内是增函数；当x1x2时都有fx1fx2，则fx在D内是减函数.（2）设函数yf(x)在某区间D内可导，若fx0，则yf(x)在D内是增函数；若fx0，则yf(x)在D内是减函数.---------2.单调性的定义的等价形式：（1）设x1,x2fx1fx2
5、0fx在a,ba,b，那么x1x2（2）设x1,x2fx1fx20fx在a,ba,b，那么x1x2上是增函数；上是减函数；---------3.证明或判断函数单调性的方法：(1)定义法：设元作差变形判断符号给出结论.其关键是作差变形，为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘积、平方和等形式，再结合变量的范围，假设的两个变量的大小关系及不等式的性质作出判断；(2)复合函数单调性的判断方法：即“同增异减”法，即内层函数和外层函数的单调性相同，则复合函数为增函数；若相反，则复合函数为减函数.解决问题的关键是区分好内外层函数，掌握常用基本函数的单调性；（
6、3）图象法：利用数形结合思想，画出函数的草图，直接得到函数的单调性；（4）导数法：利用导函数的正负来确定原函数的单调性，是最常用的方法.（5）利用常用结论判断：---------1---------①奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；②互为反函数的两个函数具有相同的单调性；③在公共定义域内，增函数f(x)增函数g(x)是增函数；减函数f(x)减函数g(x)是减函数；增函数f(x)减函数g(x)是增函数；减函数f(x)增函数g(x)是减函数;④复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，特别提醒：求单调区间
7、时，勿忘定义域，三.函数的周期性.（1）类比“三角函数图像”得：①若yf(x)图像有两条对称轴xa,xb(ab)，则yf(x)必是周期函数，且一周期为T2
8、ab
9、；②若yf(x)图像有两个对称中心A(a,0),B(b,0)(ab)，则yf(x)是周期函数，且一周期为T2
10、ab
11、；③如果函数yf(x)的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴xb(ab)，则函数yf(x)必是周期函数，且一周期为T4
12、ab
13、；（2）由周期函数的定义“函数f(x)满足fxfax(a0)，则f(x)是周期为a的周期函数”得：函数f(x)满足fxfax，则f(x)是周期为2
14、a的周期函数。四.函数的对称性.①满足条件f(a+x)=f(b-x)的函数的图象关于直线xab对称.x,y)；函数yfx2②点(x,y)关于y轴的对称点为(关于y轴的对称曲线方程为yfx；③点(x,y)关于x轴的对称点为(x,y)；函数yfx关于x轴的对称曲线方程为yfx；④点(x,y)关于原点的对称点为(x,y)；函数yfx关于原点的对称曲线方程为yfx；五.常见的图象变换①函数yfxa(a0)的图象是把函数yfx的图象沿x轴向左平移a个单位得到的.②函数yfxa((a0)的图象是把函数yfx的图象沿x轴向右平移a个单位得到的.③函数yfx+a(a
15、0)的图象是把函数yfx助图象沿y轴向上平移a个单位得到的；④函数yfx+a(a0)的图象是把函数yfx助图象沿y轴向下平移a个单位得到的；⑤函数yfax(a0)的图象是把函数yfx的图象沿x轴伸缩为原来的1得到的.a⑥函数yafx(a0)的图象是把函数yfx的图象沿y轴伸缩为原来的a---------2---------倍得到的.⑦
16、f(x)
17、的图象先保留f(x)原来在x轴上方的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到；f(
18、x
19、)的图象先保留f(x)在y轴右方的图象，擦去y轴左方的图象，然后作出y轴右方的图象关于y轴
20、的对称图形得到.六.函数的零点（1）一般地，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线
