构造全等三角形证明竞赛题.doc

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1、构造全等三角形证明竞赛题江西　安义人全等三角形是能够完全重合的两个三角形，它们的对应边相等，对应角相等。对于某些竞赛题，考虑构造全等三角形并利用这两个相等，可使其解答巧妙、迅捷。一、与线段相等有关的竞赛题例１（成都市初二数学竞赛题）如图１，△ABC的两条高BD、CE相交于点P，且PD＝PE。求证：AC＝AB。简证：连AP。因为∠PDA＝∠PEA＝90°，PD＝PE，PA＝PA，所以△PDA≌△PEA（HL）。所以AD＝AE。因为∠１＝90°－∠CAB＝∠２，所以△ACE≌△ABD（AAS）。所以AC＝AB。　　　　　　　　　　　　　图１　　　　　　　　　　　　　图２例２（天津市初二数学竞

2、赛题）如图２，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠A的平分线AD交BC于点D，过点B作BE⊥AD于点E。求证：BE＝AD。简证：延长BE、AC交于点F。因为∠１＝∠２，AE＝AE，∠AEB＝∠AEF＝90°，所以△AEB≌△AEF（ASA）。所以BE＝FE＝BF。因为∠３＝90°－∠F＝∠２，BC＝AC,所以△BCF≌△ACD（ASA）。所以BF＝AD，BE＝AD。二、与角相等有关的竞赛题例３（赣州市初三数学竞赛题）如图３，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BD是中线，CE⊥BD于点E，交AB于点F。求证：∠ADF＝∠CDE。简证：过点A作AG⊥AC交CF的延长线于点G。因为∠１＝9

3、0°－∠３＝∠２，AC＝BC，所以△CAG≌△BCD（ASA）。所以AG＝CD＝AD，∠G＝∠CDE。因为∠４＝45°＝∠５，AF＝AF,所以△ADF≌△AGF（SAS）。所以∠ADF＝∠G＝∠CDE。图３　　　　　　　　　　　　　　　图４例４（上海市初中数学竞赛题）如图４，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，AE＝（AD＋AB）。求证：∠ADC＋∠ABC＝180°。简证：过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F。因为∠２＝∠３，AC＝AC，所以△ACF≌△ACE（AAS）。所以CF＝CE，AF＝AE。因为AD＋AB＝２AE，AB＝AE＋EB，所以EB＝AE－AD。因为F

4、D＝AF－AD，所以EB＝FD。所以△CEB≌△CFD（SAS）。所以∠ABC＝∠5。所以∠ADC＋∠ABC＝∠ADC＋∠５＝180°。