【金版学案】2015届高考数学总复习基础知识名师讲义第二章第十三节导数在研究函数中的应用(一)文.doc

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1、1．了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次．2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次．知识梳理一、函数的导数与函数的单调性的关系1．函数单调性的充分条件．设函数y＝f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y′>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内为________；如果在这个区间内y′<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内为________．2．函数单调性的必要条件．设函数y＝f(x)在某

2、个区间内有导数，如果函数y＝f(x)在这个区间内为增函数，那么在这个区间内________；如果函数y＝f(x)在这个区间内为________，那么在这个区间内________．3．求可导函数的单调区间的一般步骤和方法．(1)确定函数f(x)的定义域．(2)计算导数________，令________，解此方程，求出它们在定义域区间内的一切实根．(3)把函数f(x)的间断点[即f(x)的无定义的点]的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把f(x)的定义域分成若干个小区间．(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小

3、区间的增减性[若f′(x)>0，则f(x)在相应区间内为增函数；若f′(x)<0，则f(x)在相应区间内为减函数]．二、函数的极值1．函数极值的定义．一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是____________，记作____________，x0是________．如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0)．就说f(x0)是______________，记作______________，x0是极小值点．极大值与极小值统称为________．6/62.判别f(x0)是极大值、极小值的方法．若x0满足f′

4、(x0)＝0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值，并且如果f′(x)在x0两侧满足“左正右负”，那么x0是f(x)的________，f(x0)是________；如果f′(x)在x0两侧满足“________”，那么x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值．3．求可导函数f(x)的极值的步骤．(1)确定函数的定义区间，求导数________．(2)求方程________的根．(3)用函数的导数为0的点和函数定义域的边界点，顺次将函数的定义域分成________，并列成表格．检查f′(x)在________________，如果____

5、____，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果________，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右______，那么f(x)在这个根处______．三、函数的最大值与最小值1．函数的最大值与最小值．在闭区间上图象连续不断的函数f(x)在上________最大值与最小值．2．利用导数求函数的最值的步骤．设函数f(x)在(a，b)内可导，在闭区间上图象连续不断，求函数f(x)在上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求f(x)在(a，b)内的________；(2)将f(x)的各________与________比较，得出函数f(x)在上的最值，其中最大的一个是最大值，最小的一个

6、是最小值．一、1.增函数　减函数　2.y′≥0　减函数　y′≤03．(2)f′(x)　f′(x)＝0二、1.函数f(x)的一个极大值　y极大值＝f(x0)　极大值点　函数f(x)的一个极小值　y极小值＝f(x0)　极值2．极大值点　极大值　左负右正3．(1)f′(x)　(2)f′(x)＝0　(3)若干小开区间　方程根左右的值的符号　左正右负　左负右正　不改变符号　无极值三、1.必有　2.(1)极值　(2)极值　f(a)，f(b)基础自测1．函数y＝xsinx＋cosx在(π，3π)内的单调增区间为(　　)A.B.C.D．(π，2π)6/6解析：∵y＝xsinx＋cosx，∴y′＝x

7、cosx.当x∈(π，3π)时，要使y′＝xcosx＞0，只要cosx＞0，结合选项知，只有B满足．答案：B2.(2013·四川南充二模)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是(　　)解析：因为函数f(x)在x＝－2处取得极小值，所以，当x＜－2时，f′(x)＜0，所以xf′(x)＞0；当－2＜x＜0，f′(x)＞0，所以xf′(x)＜0.故选C.答案：C3．(2012·哈尔滨三中月考)