实变函数论课件4 n维空间中的点集、聚点、内点、界点.ppt

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1、第4讲n维空间中的点集目的：掌握n维空间中集合的内点、边界点、聚点、开集、闭集等概念，熟练理解Bolzano-Weirstrass定理、Borel有限覆盖定理，能运用这些定理解决一些问题。重点与难点：Bolzano-Weirstrass定理、Borel有限覆盖定理。⒈度量空间定义：设X为一非空集合，d:X×X→R为一映射，且满足⑴d(x,y)≥0，d(x,y)=0当且仅当x=y（正定性）则称(X,d)为度量空间.⑵d(x,y)=d(y,x)（对称性）⑶d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)（三角不等式）(X,d)为度量空间，Y是X的一个

2、非空子集，若（Y,d）也是一个度量空间，称（Y,d）为(X,d)的子空间。例：⑶C[a,b]空间(C[a,b]表示闭区间[a,b]上实值连续函数全体),其中⑴欧氏空间（Rn,d）,其中⑵离散空间(X,d)，其中第4讲n维空间中的点集二．聚点、内点、边界点与Bolzano-Weirstrass定理问题1：给定Rn中一个集合E及点P，P与E有几种可能的关系？定义1设，（i）若存在，使，则称为的内点。（ii）若存在，使，则称为的外点。（iii）若对任意，则称为的边界点。定义2若对任意，中总有中除外的点，即,则称为聚点。注：有限点集没有聚点。⒊聚

3、点的等价描述证明：显然，下证定理1：下列条件等价：(1)p0为E的聚点(3)存在E中互异的点所成点列{pn},使得P0δPn定义：称点列{pn}收敛于p0,记为：(2)点p0的任意邻域内，含有无穷多个属于E而异于p0的点闭包和内部的对偶关系：定理2若，则定理3若，则定理3的证明：由于，由定理2立得。现设，则对任意，从而含或中点，由定理1，知存在一串互异的点，使中必有无穷多个都属于或都属于，不妨设，则由，知。如果有无穷多个在中，则将会有，总之。从而。综上。证毕。*定理4（波尔察诺-外尔斯特拉斯（Bolzano-Weierstrass）定理）

4、若是中一个有界的无穷集合，则至少有一个聚点，即。*定理5若则至少有一个界点，即。与聚点相对的概念是孤立点，集合的边界点若不是的聚点，则称为的孤立点。当然，的孤立点一定在中。如果的每一点都是孤立点，则称为孤立集合。