椭圆的几何性质.doc

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1、椭圆的几何性质(1)教学目标(1)掌握椭圆的基本几何性质:范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率;(2)掌握椭圆标准方程中、、、的几何意义及相互关系;(3)感受如何运用方程研究曲线的几何性质.教学重点,难点运用方程研究曲线的几何性质.教学过程一.问题情境1.情境:复习回顾:椭圆的定义;椭圆的标准方程;椭圆中、、的关系2.问题:在建立了椭圆的标准方程之后,就可以通过方程来研究椭圆的几何性质.那么椭圆有哪些几何性质呢?二.学生活动[来源:学科网]学生通过椭圆的标准方程,以及椭圆的图象尝试观察、、在图象中的体现.三.建构数学1.范围由方程可知,椭圆上点的

2、坐标都适合不等式,即,所以.同理可得.这说明椭圆位于直线和所围成的矩形内.2.对称性:从图形上看:椭圆关于轴、轴、原点对称.从方程上看:(1)把换成方程不变,说明当点在椭圆上时,点关于轴的对称点也在椭圆上,所以椭圆的图象关于轴对称;(2)把换成方程不变,所以椭圆的图象关于轴对称;(3)把换成,同时把换成方程不变,所以椭圆的图象关于原点成中心对称.综上:坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.3.顶点:在方程中,令,得,说明点,是椭圆与轴的两个交点.同理,是椭圆与轴的两个交点.(1)顶点:椭圆与它的对称轴的四个交点,

3、叫做椭圆的顶点;(2)长轴、短轴:线段、线段分别叫椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于和;(3)、的几何意义:是长半轴的长,是短半轴的长.4.离心率:椭圆的焦距与长轴长的比,叫做椭圆的离心率.说明:(1)因为所以.(2)越接近,则越接近,从而越小,因此椭圆越扁;反之,越接近于,越接近于,从而越接近于,这时椭圆就接近于圆;(3)当且仅当时,,这时两焦点重合,图形变为圆,但本教材规定圆与椭圆是不同的曲线,有些书将圆看成特殊的椭圆;(4)试让学生通过探究的大小变化来发现"扁"的程度.四.数学运用1.例题:例1.求椭圆的长轴长,短轴长,离心率,焦点和顶点坐标

4、,并用描点法画出这个椭圆.分析:由椭圆的标准方程可知,,则椭圆位于四条直线,所围成的矩形内.又椭圆以两坐标轴为对称轴,所以只要画出第一象限的图形就可以画出整个图象.解:根据椭圆的方程,得,,.因此,长轴长,短轴.焦点为和,顶点为,,,.离心率.将方程变形为,根据算出椭圆在第一象限的几个点的坐标:[来源:学§科§网Z§X§X§K][来源:学*科*网]说明:①本题在画图时,利用了椭圆的对称性,利用图形的几何性质,可以简化画图过程,保证图形的准确性.②根据椭圆的几何性质,用下面方法可以快捷地画出反映椭圆基本形状和大小的草图:以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形

5、;由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点;用曲线将四个顶点连成一个椭圆,画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性.例2.求符合下列条件的椭圆标准方程:(1)焦距为,离心率为.(2)焦点与长轴较接近的端点的距离为,焦点与短轴两端点的连线互相垂直.解:(1)由题意:因为,所以;又因为,所以,所以,焦点在轴上时椭圆标准方程:;焦点在轴上时椭圆标准方程:.(2)由题意:,,,所以解得,,焦点在轴上时椭圆标准方程:;焦点在轴上时椭圆标准方程:.[来源:Zxxk.Com]五.回顾小结:1.椭圆的基本几何性质:范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率;2.椭圆标准方

6、程中、、、的几何意义及相互关系.[来源:学科网ZXXK]

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