§32导数的极值，最值.doc

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1、§3.2导数的单调性与极值、最值一、知识梳理1．函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.则有：f′(x)≥0⇔f(x)为f′(x)≤0⇔f(x)为2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程的根；③检查f′(x)在方程的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得．3．函数的最值(1

2、)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则为函数的最小值,为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减,则为函数的最大值，为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的；②将f(x)的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．4．生活中的优化问题解决优化问题的基本思路是：二、基础自测1．函数y＝3x2－6lnx的单调增区间为__________，单调减区间为_____．2．函

3、数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值，最小值分别是________．3.若函数恰有3个单调区间，则实数a的取值范围是.4．已知a>0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调递增函数，则a的取值范围是.5.函数f(x)=1+x-sinx在(0,2π)上的单调情况是_______.6.如果函数y=f(x)的图象如图所示，那么其导函数y=f′(x)的图象有_________个零点.7．若函数y=x+x+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是__________.8．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数

4、f(x)在开区间(a，b)内的极小值点的个数为__________.9.函数f(x)=的极值点的个数是_________.10.已知函数f(x)=在x=1处取极值10，则f(2)=_________.在的最值为四、例题分析例1已知f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围．变式训练已知函数f(x)＝lnx－ax＋－1(a∈R)．(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)当a≤时，讨论f(x)的单调性．例2已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)．(

5、1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．变式训练已知函数f(x)=-ax-1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1，1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；例3设的导数为f′(x),若函数y=f′(x)的图象关于直线x=-对称，且f′(1)=0.(1)求实数a,b的值;(2)求函数f(x)的极值变式训练设函数f(x)定义在(0，＋∞)上，f(1)＝0，导函数f′(x)＝，g(x)＝f(x)＋f′(x)．(1)求g(x)的单调区间和最小

6、值；(2)讨论g(x)与g的大小关系；(3)是否存在x0>0，使得

7、g(x)－g(x0)

8、<对任意x>0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由．例4　已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．例5　已知a为实数，且函数f(x)＝(x2－4)(x－a)．(1)求导函数f′(x)；(2)若f′(－1)＝0，求函数f(x)在[－2,2]上的最大值、最小值．五、课后练习1．函数f(x)＝＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是.2．函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内

9、有极小值，则实数a的取值范围是.3．已知函数f(x)＝x3－x2－x，则f(－a2)与f(－1)的大小关系为.4．已知y＝x＋bx＋(b＋2)x＋3是R上的单调增函数，则b的取值范围是.5．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的范围是6．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为________．7．已知函数f(x)＝lnx＋2x，若f(x2＋2)