以三角形为背景的高考试题归类解析-论文.pdf

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1、第4期章烈丰，等：以三角形为背景的高考试题归类解析·43·以三角形为背景的高考试题归类解析●章烈丰(马寅初中学浙江嵊州312400)●施哲明(嵊州市教研室浙江嵊州312400)三角形是最简单的封闭几何图形．从小学、初(2)由AABC的面积5=÷bcsinA=，得bc=中到高中，数学学习与三角形的联系越来越紧密和频繁，在数学的各种学习内容、各类试题背景中成4．又由口=b+c一2bccosA，得b+c=8，解得为最活跃的几何图形之一．这个dvJ,的三角形中充b=E=2．满了无限的奥秘和变化：从最基本的3条线段、3评析正弦定理和余弦定理是解决有关斜三个角的组成来看就包含着许多

2、优美的性质，既有边、角形边角问题的2个重要定理，利用这2个定理可长关系，又有角度关系，还有边角合一的正弦定理、将边角关系达到统一．本题第(1)小题求角，故需余弦定理等等；若涉及中线、角平分线、垂线等，那把边转化为角；第(2)小题求边长，故需选用含3更是到了一个神奇的三角王国；若再把它隐藏到某个边长变量的余弦定理．在研究较复杂的三角形问一些几何图形中，如圆锥曲线中的特征三角形、立题时，常需正、余弦定理综合使用，甚至反复使用．体几何中的线面角和面面角等，那更显得丰富多2向量为“桥”，运算为“梁”彩，真可以说是三角、代数、几何、图形的百川交汇．从向量进入高中数学后，三角形的几

3、何性质就正由于它在平凡中充满着无穷的魅力，因此得到高可以用向量的形式来表现．既具代数表达形式又具考命题者的青睐．本文例举若干以三角形为背景的非凡魅力的几何意义的向量，在解决许多以三角形试题，展现它在试题命制中的不同侧面，供大家欣为背景的高考试题中，成为一道亮丽的风景线．赏和参考．例2在RtAABC中，点D是斜边AB的中1定理为先，“边角”互通点，点P为线段CD的中0=在高中数学中，三角形性质的代数化表达中，()最重要的就是正弦定理和余弦定理，它们沟通了三A．2B．4C．5D．10角形的边角关系，也提供了边角相互转化的工具．(2012年江西省数学高考试题第7题)因此高考中

4、有关三角形的试题最直接、最常见的就分析1以C为原点、cA，CB所在直线为，Y是应用正弦定理、余弦定理解决三角形中的有关度轴建立直角坐标系．设A(口，0)，B(0，b)，则量问题．例1在AABC中，0，b，c分别为3个内角A，D(号，)，P(詈，鲁)，B，c的对边，已知cteosC+口sinC—b—c=0．从而II+I胎I=(1)求A；_9Ⅱ2+lb+口2+9b=(2)若口=2，且AABC的面积为，求b，E．(2012年新课标全国数学高考试题第17题)(口)=101PCI．分析(1)由已知条件及正弦定理得故选D．sinAcosC+√广sinAsinC—sinB—sinC=

5、0．分析2赢一赢：，且赢+：2，2个因为B=耵一A—C，所以式子平方相加得4~-sinAsinC—cosAsinC—sinC=0，2一pA2+2-p-~2：+42：42+42：得sin(A一詈)=吉，2OPC．故选D．又0

6、(1)题会觉得无从人手，但一旦看清此题考查的真正意而AB·AC=4bcosLBAC，(2)图，再合理运用平面向量的运算，就能迎刃而解．真由极化恒等武得A—B．：÷(4—2)．(3)所谓是“不识庐山真面目，只缘身在此山中”．由式(2)，式(3)得例3在AABC中，P0是边AB上一定点，1口=4—16bcosLBAC，(4)P。B=÷AB，且对于边AB上任意一点P，恒有由式(1)，式(4)得．≤一PB．则()，c。s／_BAC=一÷(6+)≤一譬，A．仙C=90。B．BAC=90。C．AB=ACD．AC=BC故／BAC≥150。．(2013年浙江省数学高考理科试题第7题)分

7、析如图1，在AABC中，设BC的中点为D，则一PB·：1(4fi-~2一)，图2图3同理可得解法2(以所求角的补角LABD为目标)如一图3，延长AM到点D，使得AM=MD，联结BD，P0B．·PoC：：(4PoD一C)．一ACD．设LABD=0，BD=，则由余弦定理得由已知．一PoC<~赢．，得lPob,≤II恒成4=16+一8xeos0．立，即当P。D上AB时，IPobI最小．又因为P。B=1即c。s=÷(+)≥譬，÷AB，所以Ac=BC．叶故≤30。，从而LBAC≥150。．评析在三角形中，中线是最基本的要素之解法3在AABD中，由正