三角函数恒等变换和求值训练 (解析版).doc

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1、学而私学，不亦说乎？三角函数恒等变换和求值训练1.已知的值.解法一：由已知得：由已知条件可知解法二：由已知条件可知2．已知，（1）求的值；（2）求的值.5编号20140322A学而私学，不亦说乎？（1）解：.由，有.解得.（2）解法一：.解法二：由（1），，得∴.∴.于是，.代入得.3.已知锐角三角形ABC中，（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）设AB=3，求AB边上的高.（Ⅰ）证明：所以（Ⅱ）解：，即，将代入上式并整理得5编号20140322A学而私学，不亦说乎？解得，舍去负值得，设AB边上的高为CD.则AB=AD+DB=由AB

2、=3，得CD=2+.所以AB边上的高等于2+.4.在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求bc的最大值.解:(Ⅰ)====(Ⅱ)∵∴,又∵∴当且仅当b=c=时,bc=,故bc的最大值是.5.已知函数的定义域为，值域为[－5，1]，求常数a、b的值．解：∵，5编号20140322A学而私学，不亦说乎？．∵，∴，∴．当a>0时，b≤f(x)≤3a+b，∴解得当a<0时，3a+b≤f(x)≤b．∴解得故a、b的值为或6.设的周期，最大值，（1）求、、的值；（2）.解：(1)，，，

3、又的最大值，①，且②，由①、②解出a=2,b=3.(2)，，，，或，即(共线，故舍去)，或，.7.已知:sin3α+cos3α=1，求sinα+cosα;sin4α+cos4α;sin6α+cos6α的值。解法一：令sinα+cosα=t，则sinα·cosα=∴sin3α+cos3α=(sinα+cosα)(sin2α－sinα·cosα+cos2α)=t·(1－)=1，得：t3－3t+2=0(t－1)2·(t+2)=0∵t≠－2∴t=sinα+cosα=1，且sinα·cosα==0。∴sin4α+cos4α=

4、(sin2α+cos2α)2–2sin2α·cos2α=1－2·0=1sin6α+cos6α=(sin2α+cos2α)(sin4α－sin2α·cos2α+cos4α)=1解法二：∵sin3α≤sin2α,cos3α≤cos2α∴sin3α+cos3α≤sin2α+cos2α=15编号20140322A学而私学，不亦说乎？等号当且仅当时成立，或∴sinα+cosα=sin4α+cos4α=sin6α+cos6α=1说明：（1）凡是遇到sinx+cosx与sinx·cosx类的问题，均应采用换元法，令sinx+co

5、sx=t，得sinx·cosx=。（2）三角中的恒等变形与初中所学整式的恒等变形结合是解本题的关键所在。（3）本题还可推广到一般情形：若k≥2且sin2k－1α+cos2k－1α=1，则sinα=1，cosα8.已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1（x∈R）,（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：（1）y=cos2x+sinx·cosx+1=(2cos2x－1)++（2sinx·cosx）+1=cos2x+sin2

6、x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+=sin(2x+)+所以y取最大值时，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即x=+kπ,（k∈Z）。所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x

7、x=+kπ,k∈Z}（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：（i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x+)的图像；（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像；（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=sin(2x+)

8、的图像；（iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图像。综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像。5编号20140322A