不等式证明的常用基本方法(自己整理).doc

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1、证明不等式的基本方法导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式．[自主梳理]1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a，b，c>0，那么_________________________，当且仅当a＝b＝c时等号成立．2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即≥，当且仅当__________________时等号成立．3.证明不等式的常用五种方法(1

2、)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小．(2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法．(3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索

3、因法．(4)反证法①反证法的定义先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法．②反证法的特点先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾．(5)放缩法①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目

4、的，我们把这种方法称为放缩法．②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键．题型一用比差法与比商法证明不等式1.设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则s与t的大小关系是(　A　)A.s≥t　　　　　B.s>tC.s≤tD.s

5、b.答案：D3.设a,b∈R,给出下列不等式:①lg(1+a2)>0;②a2+b2≥2(a-b-1);③a2+3ab>2b2;④,其中所有恒成立的不等式序号是　　②　　. ②【解析】①a=0时不成立;②∵a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,成立;③a=b=0时不成立;④a=2,b=1时不成立,故恒成立的只有②.8题型二用综合法与分析法证明不等式4.(1)已知x，y均为正数，且x>y，求证：2x＋≥2y＋3；(2)设a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥.证明　(1)因为x>

6、0，y>0，x－y>0，2x＋－2y＝2(x－y)＋＝(x－y)＋(x－y)＋≥3＝3，所以2x＋≥2y＋3.(2)因为a，b，c>0，所以要证a＋b＋c≥，只需证明(a＋b＋c)2≥3.即证：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，而ab＋bc＋ca＝1，故需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)．即证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.而ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)成立．所以原不等式成立．5.已知a、b都是正实数，且ab＝2.求证

7、：(1＋2a)(1＋b)≥9.证明：法一　因为a、b都是正实数，且ab＝2，所以2a＋b≥2＝4.所以(1＋2a)(1＋b)＝1＋2a＋b＋2ab≥9.法二因为ab＝2，所以(1＋2a)(1＋b)＝(1＋2a)＝5＋2.因为a为正实数，所以a＋≥2＝2.所以(1＋2a)(1＋b)≥9.法三因为a、b都是正实数，所以(1＋2a)(1＋b)＝(1＋a＋a)·≥3··3·＝9·.又ab＝2，所以(1＋2a)(1＋b)≥9.思维升华　用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的

8、证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．题型三　放缩法证明不等式6.已知0N　　　　B.M