“等体积代换法”.doc

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1、问题—“等体积代换法”。（一）多面体的体积（表面积）问题1．【上海·理】在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60．（1）求四棱锥P－ABCD的体积；【解】（1）在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角,∠PBO=60°.在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1,由PO⊥BO,于是，PO=BOtg60°=,而底面菱形的面积为2.∴四棱锥P-ABCD的体积V=×2×=2

2、.2．【上海·文】在直三棱柱中，.（2）若与平面所成角为，求三棱锥的体积。【解】（2）∵AA1⊥平面ABC,∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角，∠ACA1=45°.∵∠ABC=90°，AB=BC=1，AC=∴AA1=。∴三棱锥A1-ABC的体积V=S△ABC×AA1=。（二）点到平面的距离问题—“等体积代换法”。1．【福建·理】如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（III）求点E到平面ACD的距离。【解】（III）设点E到平面ACD的距离为，∴在中，而4点E到平面ACD的距离为2．【湖北·

3、文】如图，已知正三棱柱的侧棱长和底面边长为1，是底面边上的中点，是侧棱上的点，且。（Ⅱ）求点到平面的距离。【解】（Ⅱ）过在面内作直线，为垂足。又平面，所以AM。于是H平面AMN，故即为到平面AMN的距离。在中，＝。故点到平面AMN的距离为1。3．【湖南·理】如图4,已知两个正四棱锥的高分别为1和2,。（III）求点到平面的距离。【解】（Ⅲ）由（Ⅰ）知，AD⊥平面PQM，所以平面QAD⊥平面PQM。过点P作PH⊥QM于H，则PH⊥QAD，所以PH的长为点P到平面QAD的距离。连结OM。因为OM=AB=2=OQ，所

4、以∠MQP=45°。又PQ=PO+QO=3，于是PH=PQsin45°=。即点P到平面QAD的距离是。4．【江西·文】如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点。（1）求O点到面ABC的距离；4【解】（1）取BC的中点D，连AD、OD。，则∴BC⊥面OAD。过O点作OH⊥AD于H，则OH⊥面ABC，OH的长就是所要求的距离。，。∴面OBC，则。，在直角三角形OAD中，有（另解：由知：）5．【山东·理】如图，已知平面平行于三棱锥的底面ABC，等边△所在的平面与底面ABC垂直，且∠A

5、CB=90°，设（Ⅱ）求点A到平面VBC的距离；ABCA1VB1C1【解】（Ⅱ）解法1：过A作于D，∵△为正三角形，∴D为的中点.∵BC⊥平面∴，又，∴AD⊥平面，∴线段AD的长即为点A到平面的距离.在正△中，.∴点A到平面的距离为.解法2：取AC中点O连结，则⊥平面，且=.由（Ⅰ）知，设A到平面的距离为x，4，即，解得.即A到平面的距离为.所以，到平面的距离为4