“等体积代换法”.docx

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1、-------------精选文档-----------------问题—“等体积代换法”。（一）多面体的体积（表面积）问题1．【上海·理】在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60．（1）求四棱锥P－ABCD的体积；【解】（1）在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得∠PBO是PB与平面ABCD所成的角,∠PBO=60°.在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1,PO由⊥BO,于是，PO=BOtg60°=3,而底面菱形的面积为23.∴四棱锥P-ABCD的体积V=

2、1×3=2.×2332．【上海·文】在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90o,ABBC1.（2）若A1C与平面ABC所成角为45o，求三棱锥A1ABC的体积。【解】（2）∵AA1⊥平面ABC,∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角，∠ACA1=45°.∵∠ABC=90°，AB=BC=1，AC=2∴AA1=2。∴三棱锥A1-ABC的体积V=1S△ABC×AA1=2。36（二）点到平面的距离问题—“等体积代换法”。1．【福建·理】如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、ABC的中点，CACBCDBD2,ABAD2.（III）求点E到平面ACD的距离。DO【解】（II

3、I）设点E到平面ACD的距离为h.BECQVEACDVACDE，11∴hgSACDgAOgSCDE.33在ACD中，CACD2,AD2,SACD1222(2)27.222可编辑-------------精选文档-----------------而AO1,SCDE13223,242AO.SCDE13212h7.点E到平面ACD的距SACD7221离为.2．【湖北·文】如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长和底面边长为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝2C1N。（Ⅱ）求点B1到平面AMN的距离。【解】（Ⅱ）过B1在面BCC1B1内作直线B1HMN

4、，H为垂足。又AM平面BCC1B1，所以AMB1H。于是B1H平面AMN，故B1H即为B1到平面AMN的距离。在511。故点B1到R1B1HM中，B1H＝B1MsinB1MH125平面AMN的距离为1。3．【湖南·理】如图4,已知两个正四棱锥PDPABCD与QABCD的高分别为1和2,AB4。CAB（III）求点P到平面QAD的距离。【解】（Ⅲ）由（Ⅰ）知，AD⊥平面PQM，所以平面QAD⊥平面PQM。Q图4过点P作PH⊥QM于H，则PH⊥QAD，所以PH的长为点P到平面QAD的距离。1连结OM。因为OM=AB=2=OQ，所以∠MQP=45°。2可编辑--------

5、-----精选文档-----------------又PQ=PO+QO=3，于是PH=PQsin4532°=。232即点P到平面QAD的距离是。24．【江西·文】如图，已知三棱锥OABC的侧棱OA、OB、OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点。（1）求O点到面ABC的距离；【解】（1）取BC的中点D，连AD、OD。QOBOC，则ODBC、ADBC，∴BC⊥面OAD。过O点作OH⊥AD于H，则OH⊥面ABC，OH的长就是所要求的距离。BC22，ODOC2CD22。QOAOB，OAOC，∴OA面OBC，则OAOD。ADOA2OD23，在直角三角形OAD中，有

6、OHOAOD26。AD33（另解：由VOABC1SABCOH1OAOBOC2知：OH6）36335．【山东·理】如图，已知平面A1B1C1平行于三棱锥VABC的底面ABC，等边△AB1C所在的平面与底面ABC垂直，且∠ACB=90°，设2a,BCa（Ⅱ）求点A到平面VBC的距离；AC可编辑-------------精选文档-----------------【解】（Ⅱ）解法1：过A作ADB1C于D，V∵△为正三角形，∴D为B1C的中点.AB1C∵BC⊥平面AB1C∴BCAD，A1C1又B1CBCC，∴AD⊥平面VBC，B1∴线段AD的长即为点A到平面VBC的距离.AC33B

7、在正△AB1C中，ADAC2a3a.22∴点A到平面VBC的距离为3a.解法2：取AC中点O连结B1O，则B1O⊥平面ABC，且B1O=3a.由（Ⅰ）知BCB1C，设A到平面VBC的距离为x，VB1ABCVABB1C，即11BCACB1O11BCB1Cx，解得x3a.3232即A到平面VBC的距离为3a.所以，A到平面VBC的距离为3a可编辑