高等数学-第11章-微分方程习题详解.doc

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1、第十一章微分方程习题详解第十一章微分方程习题11—11．判断下列方程是几阶微分方程？（1）（2）（3）（4）．解微分方程中所出现的未知函数导数（或微分）的最高阶数，叫做微分方程的阶．所以有：（1）一阶微分方程；（2）一阶微分方程；（3）三阶微分方程；（4）三阶微分方程．2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：（1），；（2），；（3），；（4），．解（1）将代入所给微分方程的左边，得左边右边，故是微分方程的解．（2）将，代入所给微分方程的左边，得左边右边，故是微分方程的解．（3）将，，代入微分方程的左边，得左边（右边），故不是所给微分方程的解．（4）对方程的两边关于求导，得

2、，即．再对求导，得，即，故是所给微分方程的解．3．确定下列各函数关系式中所含参数，使函数满足所给的初始条件．（1），；（2），．43第十一章微分方程习题详解解（1）将，代入微分方程，得所以，所求函数为．（2），将，分别代入和，得，，所以，所求函数为．4．能否适当地选取常数，使函数成为方程的解．解因为，，所以为使函数成为方程的解，只须满足，即．而，因此必有，即或，从而当，或时，函数均为方程的解．5．消去下列各式中的任意常数，写出相应的微分方程．（1）（2）（3）（4）．解注意到，含一个任意常数及两个变量的关系式对应于一阶微分方程；含两个独立常数的式子对应于二阶微分方程．（1）由两边对

3、求导，得，代入原关系式，得所求的微分方程为．（2）由两边对求导，得，即．而，故所求的微分方程为，化简得．（3）由两边对求导，得，两边再对求导，得，可得所求的微分方程为．（4）由两边对求导，得，将代，并化简得，对上式两边再对求导，得43第十一章微分方程习题详解，故所求的微分方程为．习题11—21．求下列微分方程的通解或特解：（1）（2）（3）（4）（5），（6），．解（1）分离变量，得，两端积分，得，即，所以原方程的通解为．注该等式中的与等本应写为与等，去绝对值符号时会出现号；但这些号可认为含于最后答案的任意常数中去了，这样书写比较简洁些，可避开绝对值与正负号的冗繁讨论，使注意力集中

4、到解法方面，本书都做这样的处理．（2）原方程分离变量，得，两端积分，得，即，故原方程的通解为．（3）原方程可化成，分离变量，得，两端积分，得，即是原方程的通解．（4）分离变量，得，两边积分，得，即是原方程的通解．（5）分离变量，得，两端积分，得，即．由定解条件，知43第十一章微分方程习题详解，即，故所求特解为，即．（6）将方程两边同除以，得，两端积分，得，积分后得（其中），从而有，代入初始条件，得．因此，所求方程满足初始条件的特解为，即．2．一曲线过点在两坐标轴间任意点处的切线被切点所平分，求此曲线的方程．解设曲线的方程为，过点的切线与x轴和y轴的交点分别为及，则点就是该切线的中点

5、．于是有，即，且，分离变量后，有，积分得，即．由定解条件，有，故为所求的曲线．3．一粒质量为20克的子弹以速度（米/秒）打进一块厚度为10厘米的木板，然后穿过木板以速度（米/秒）离开木板．若该木板对子弹的阻力与运动速度的平方成正比（比例系数为k），问子弹穿过木板的时间．解依题意有，，即，两端积分，得（其中20克＝0.02千克），43第十一章微分方程习题详解代入定解条件，得，故有．设子弹穿过木板的时间为秒，则，又已知时，米/秒，于是，从而，，为此有，所以（秒），故子弹穿过木板运动持续了（秒）．4．求下列齐次方程的通解或特解：（1）（2）（3）（4）（5），（6），．解（1）原方程变形

6、，得，令，即，有，则原方程可进一步化为，分离变量，得，两端积分得，即，将代入上式并整理，得原方程的通解为．（2）原方程变形，得43第十一章微分方程习题详解，即．令，即，有，则原方程可进一步化为，即，两端积分，得，将代入并整理，得原方程的通解（其中）．（3）原方程变形，得，即，令，有，则原方程可进一步化为，即，两端积分，得，即，将代入上式并整理，得原方程的通解为．（4）显然，原方程是一个齐次方程，又注意到方程的左端可以看成是以为变量的函数，故令，即，有，则原方程可化为，整理并分离变量，得，两端积分，得，43第十一章微分方程习题详解即．将代入并整理，得原方程的通解为．（5）原方程可化为

7、．令，有，则原方程可进一步化为，即，两端积分，得，将代入，得，代入初始条件，得．因此，所求方程满足初始条件的特解为．（6）原方程可写成．令，即，有，则原方程成为，分离变量，得，两端积分，得，即，代入并整理，得通解．由初始条件，得．于是所求特解为．5．设有连结原点O和的一段向上凸的曲线弧，对于上任一点，曲线弧与直线段所围成图形的面积为，求曲线弧的方程．解设曲线弧的方程为，依题意有43第十一章微分方程习题详解yxO11A(1,1)P(x,y)xyy，上式两端对x求导，，即