（2）由展开定理（仅适用单值函数）.doc

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1、MethodsofMathematicalPhysics(2016.10)Chapter7FouriertransformsYLMa@Phys.FDUChapter7FourierTransformsAbstracts：复习Fourier级数，讲解FourierTransforms的定义、性质和物理意义(例题)；介绍多重FourierTransforms.应用：求解常微分方程；坐标—动量和时间—能量空间具有丰富的物理；为求解偏微分方程的定解问题做准备。一、FourierSeries1.Fourier级数的定义(动机:自然界中存在周期函数,其频谱分析可揭示物理

2、规律。)定义：设函数的周期为，则下述级数称为的Fourier级数，，其中，引入圆频率（如果是时间空间的变量），上式可改写为其中，Fourier级数的收敛性[狄里希莱条件(Dirichletconditions)]：对于周期为的函数，若它满足：（1）连续，或在每个周期中只有有限个第一类间断点*；（2）在每个周期中只有有限个极值(即每一个部分的小区间内单调)，则其Fourier级数收敛，并且16MethodsofMathematicalPhysics(2016.10)Chapter7FouriertransformsYLMa@Phys.FDU*第一类间断点:在此

3、点函数不连续，但左极限和右极限均存在且有限，所以可积。Fourier级数的物理意义：任何周期信号必可分解为直流成分与基波和各高次谐波的交流成分之和，它们的振幅分别为（SeeChapter10.3分离变量法&本征值问题）.因此，傅里叶级数又成为傅里叶频谱分析(Spectrumanalysis).1.Fourier级数的复数形式(简洁)：利用和得[discretefrequencies:],其中，,.，，.各次谐波的振幅为.2.有限区间非周期函数的Fourier展开（实际体系都有限非周期）：对有限区间的非周期函数，总可以通过延拓来构造周期函数，然后作傅里叶展开（

4、即拷贝不走样）。设函数在坐标空间的区间上满足Dirichlet条件，则的Fourier级数为，，16MethodsofMathematicalPhysics(2016.10)Chapter7FouriertransformsYLMa@Phys.FDU其中，其复数形式为：，.注意：这时的Fourier级数只在区间内有意义，例如：这种延拓在相互作用体系中要改变物理性质(PCsaredifferentwithDCs.)。1.正交完备函数集：在区间上不恒为零的函数系，若；又若对于上的任意平方可积函数(squareintegrablefunction)，完整性方程*均

5、成立，则称为区间上的正交完备归一集(Asetoforthogonalcompletenormalizedfunctionbases).*如果对于上的平方可积函数，总有，并且成为完整性方程（称巴塞瓦等式）,为的积分模方。注:(1)正交性与区间有关。完备性：这些基矢一个不能多、一个不能少。(2)在复数函数集中，积分应理解为whereasetoforthogonalcompletenormalizedfunctionbasesare(3)同一定义域的可以以表示：，其值为(representationtheory).16MethodsofMathematicalPh

6、ysics(2016.10)Chapter7FouriertransformsYLMa@Phys.FDU(4)对于1D无界空间区域(seebelow)，连续波矢的本征函数为平面波itsorthogonalcompletenormalizedrelationis(5)Howtofindinageneralizedapproach?SeeChapter10.6,S-Leigenvalueproblem(Sturm-Liouville型方程的本征值问题).例如1：在区间上是正交完备函数集。正交性：是上面集合中的任意两个不同函数。平方可积性：模方（归一性）：例如2：

7、在区间上是正交完备集。例如3：在区间上是正交完备集。1.多重傅里叶级数：二元函数在内的傅里叶级数为其中，.二、Fourier积分与Fourier变换16MethodsofMathematicalPhysics(2016.10)Chapter7FouriertransformsYLMa@Phys.FDUWeconsideraninteraction-freeparticlewithinthequantummechanics.Fortheparticleisconfinedinthefinitespacerangeof,thereisthediscretevar

8、iables,andthewavefunctioni