对勾函数的一点思考对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，又被.doc

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1、对勾函数的一点思考对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数，又被称为“双勾函数”，“勾函数”.不过由于数学教材中对对勾函数涉及较少，学生对相关知识的学习比较分散，也缺乏系统的归纳和提升.因此，学生应在适当的时候，及时加以总结、巩固和提高.对勾函数作为考试的内容时，主要考察单调性、极值、值域等.因此，理解对勾函数的知识，灵活运用这些知识点的技能，对掌握一些题目的做法大有裨益.所谓的对勾函数，是形如（）的函数，由它的图像得名.对勾函数的性质如下：（1）定义域为（2）值域为（3）奇偶性：在其定义域上是奇函数（4）单调性：单调增区间为和.单调减区间和.（5）渐进性：渐进线是轴和直

2、线（6）图像：见下图.单调性的证明:方法一：利用单调性的定义进行证明:任意取，且则，,要判定此式的正负只要确定的正负即可.这样，又需要判断与的大小，由于的任意性，考虑到要将区间分为与（1）当时，，.∴式小于，即，∴.∴在上是减函数（2）当时，∴式大于即∴，∴在上是增函数.同理可得，（3）当时，是减函数.（4）当时，是增函数综上所述在和上是增函数，在和上是减函数方法二：通过导数的知识来探究单调性.，，令，，极值点为和.相应的极大值为，极小值为.当，，此时单调递增当，，此时单调递减当，，此时单调递减当，，此时单调递增一、对勾函数值域及其应用对勾函数的值域在高中数学中是一个重

3、要的知识点.对于对勾函数，当其定义域为，函数不存在最值，但存在极值.值域为；当其定义域为或时，函数存在最值.利用对勾函数的这一性质，我们可以解决一类复杂的函数的值域问题.例1求的值域分析：由已知先求出的范围，这是关键部分，然后再根据对数函数的单调性，求解.解：令∴∴∴函数的值域为例2若，则的最小值为分析：根据的范围，求出的范围.再根据对勾函数的图像，求出最值.解：令∴令，由对勾函数的单调性及最值知识，∴例3（2006，上海高考）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.（1）如果函数的值域为，求的值（2）研究函数（常数）在定义域内的单调性，并说

4、明理由（3）对函数和（常数）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例，研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数（是正整数）在区间上的最大值和在最小值（可利用你的研究结论）分析：根据题目已知，灵活使用对勾函数的性质，进而解决问题.解：(1)由题意得，在上是减函数，在上是增函数，∴当，函数取得最小值6.即，∴(2)设，.当时，函数在是增函数；当时，.函数在上是减函数.又是偶函数，于是，该函数在上是减函数，在上是增函数；(3)当是奇数时，函数在上是减函数，在上是增函数，在上是增函数，在上是减函数.当是偶数时，函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，在

5、上是增函数；因此在上是减函数，在上是增函数.所以，当或时，取得最大值，当时，取得最小值例4求下列函数在的值域（1）（2）分析：对函数进行变形，进而根据的范围，求出的范围，求出值域.解：（1）∵∴∴∴值域为（2）解：∵∴∴值域为例5(2008,江西高考)若函数的值域为,则函数的值域是（）ABCD解析：令，则，其中由的单调性知在上是减函数，在是增函数.又当时，；当时，当时；当时，当时，函数的值域为二、对勾函数的图像应用例1解不等式解：方法一：(1)当，显然不成立(2)当时，，∴，∴且.方法二：把分式不等式化为整式不等式，∴且（穿针引线法，奇穿偶不穿）方法三：根据函数的图像，

6、图像在上最小值是，∴且例2的图像关于（）对称A轴B轴C点D直线解析：而是奇函数，所以图像关于对称.∴的图像关于对称∴图像关于对称.例3设的图像向左向上分别平移一个单位，得到的图像，又的图像关于对称的是的图像，求的图像.解：与关于对称.∴∴本文就对勾函数性质的应用做了一个简单的介绍，充分认识到了对勾函数图像和性质在解决问题中的重要性.正确掌握这些知识，并灵活使用，有待同学们更深入的去研究，从而使我能进一步理解函数思想和函数方法，进而培养了学生从数学角度分析问题和运用数学知识解决实际问题的能力.