2007年华杯赛——几何.doc

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1、2007年华杯赛冬令营讲义——几何2007年2月深圳华杯赛南京市组委会主教练华杯赛高级教练员满涛●试题的演化例1河岸l同侧的两个居民小区A、B到河岸的距离分别为a米、b米(即图⑴中所示AA¢＝a米，BB¢＝b米)，A¢B¢＝c米．现欲在河岸边建一个长度为s米的绿化带CD(宽度不计)，使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小．在图⑵中画出绿化带的位置，并写出画图过程；⑵⑴解：如图（3），作线段AP∥l，使AP＝s，且点P在点A右侧．取点P关于l的对称点P¢，连BP¢交l于点D，在l上点D左侧截取DC＝s，则CD即为所求绿化带的位置．如图，设绿化带建于另一位

2、置C¢D¢．连BD¢、PD¢、AC¢、P¢D¢．则由对称性知，P¢D＝PD，P¢D¢＝PD¢．由APCD及APC¢D¢，知AC＝PD，AC¢＝PD¢．但P¢D¢＋D¢B≥P¢B＝P¢D＋BD，即PD¢＋D¢B≥PD＋DB．就是AC＋BD≤AC¢＋BD¢．(当且仅当D¢在线段P¢B与l的交点时等号成立).所以，这样画出的AC＋BD最小．⑷⑶●面积例2如图（4），三角形ABC的面积为12，M和N分别是AB和BC边上的两个动点，BM和AN相交于P点，四边形CMPN的面积与三角形APM的面积及三角形BPN的面积都相等时，求三角形APB的面积。面积系列问题①△ABC内

3、有一点P，如果△PAB、△PAC和△PBC的面积比为7︰7︰1，则确定点P位置的方法是＿＿＿＿。②将以上面积比改为1︰2︰3，如何确定P点的位置？③一般情况下，如果面积比改为m︰n︰p，又怎样？本题可从以下这个简单的性质讲起④三角形PAB中，M为AB上任意一点，Q为PM上任意一点。则：⑤请用面积法证明三角形三条中线交于一点。⑥请证明三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，若AD：DB=AE：EC，连结CD与BE，交点为O，则AO是三角形ABC的一条中线。⑦由上题引入(Ceva定理)设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、C

4、Z所在直线交于一点的充要条件是等于1。⑧如图，已知三角形ZBP、PBX、PXC的面积分别为3、4、8，求三角形面积.⑨如图，△ABC中，AD、BE相交于点O，BD：CD＝3：2，AE：CE=2：1．那么S⊿BOC：S⊿AOC：S⊿AOB为(A)2：3：4(B)2：3：5(C)3：4：5(D)3：4：6⑩如右图，四边形ABCD中，对角线AC,BD交于O点.已知AO=1,并且那么OC的长是多少？⑸例3我国古代“弦图”的变形如图（5）．可以由直角三角形ABC绕点O同向连续旋转三个90º而得．因此有“数学风车”的动感．假设中间小正方形的面积为1，整个徽标(含中间小正

5、方形)的面积是92，AD＝2，则徽标的外围周长是．例4⑹如图（6），AB为半圆O的直径，C为半圆上一点，且∠COA＝60°．设扇形AOC、∆COB、弓形BmC的面积分别为S1，S2，S3，则它们之间的大小关系是()．(A)S1＜S2＜S3(B)S2＜S1＜S3(C)S1＜S3＜S2(D)S3＜S2＜S1ＥGHF例5图（8）是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是正方形四条边的中点，请计算图中红色八边形的面积。⑻ＥGHF、P（试题的美、整体中研究部分、落脚点很容易）例6在长方形ABCD中，BF=AE=3厘米，DE=6厘米，三角形GEC的面积是20平方厘米，三角

6、形GFD的面积是16平方厘米，那么，长方形ABCD的面积是多少平方厘米？⑼设AG和GB的长度，列方程分别表示已知的两个三角形面积。注意三角形GEC和三角形GFD的面积可表示成矩形的面积与周围的直角三角形的面积差。例7如图（10），在以AB为直径的半圆上取一点C，分别以AC和BC为直径在ΔABC外作半圆AEC和BFC，当C点在什么位置时图中两个弯月形（阴影部分）AEC和BFC的面积和最大？⑽●空间几何※例8图中有七个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别写有1到6这六个自然数，并且任意相对面上数和是7．把这些正方体一个挨一个地连接起来，使相贴的两个面上数之和为

7、8．则“※”所在面上的数字是()(A)4(B)3(C)2(D)1例9图⑴是一个正方体形状的纸盒．把它沿某些棱剪开并摊平在桌面上，可得到图⑵的图形．如果把图⑵的纸片重新恢复成图⑴的纸盒，那么与点G重合的点是______________．⑴ABEFGNMJIHLKCD⑵例10已知一个长方体，长为3cm，宽为2cm，高为1cm，那么它的表面展开图的周长最小是？解：展开长方体，要剪开七条棱，保留五条棱，为使展开图周长最小，必须剪开尽量短的棱，如图，剪开1cm的棱4条，2cm的棱2条，3cm的棱1条(必须剪开至少1条)，所以，最小周长为(3×1＋2×2＋1×4)×2＝

8、22(cm)．例11如图⑴，一个正方体的三个面上分别