微积分第二章典型例题.doc

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1、补充知识一、数列与其子列之间的关系定义从数列中任意抽取无穷多项，并保持原有次序，这样得到的一个新数列称为数列的一个子数列，简称子列．记作：．其中表示在原数列中的位置，表示在子列中的位置．例如：奇数子列，其中显然．下面的定理给出了数列与其子列之间的关系．定理：对于数列，(1)的充要条件是对的任何子数列都有.(2)的充要条件是的偶数子列和奇数子列满足．(3)若单调，则的充要条件是存在一个子数列满足．二、数列极限与函数极限的关系定理2.18（Heine定理）的充要条件为：对于任意收敛于的数列，都有．常用结论：若，则。例如：由

2、，可以推出，等。注（1）对于，，，，等情形，只要将定理中的条件作相应修改，定理的结论仍成立．（2）该定理建立了函数极限与数列极限之间的联系，可以将函数的极限转化为数列的极限去研究，也可以将数列的极限转化为函数的极限来讨论．（3）用该定理可以说明某函数极限不存在。例如：证明不存在.证明：取，，，显然，,但是，。由Heine定理可知，不存在．三、求极限的一般方法(1)利用极限的四则运算法则.往往结合对函数的恒等变形,常用的具体方法有：因式分解，通分，有理化，约去公因子，三角恒等变形等；(2)利用无穷小量的性质、无穷小量与无

3、穷大量之间的关系（特别是利用有界变量与无穷小量的积仍是无穷小量的性质）等；(3)利用等价无穷小量的性质；(4)利用高阶无穷小量的性质；(5)利用极限存在准则；(6)利用重要极限；(7)利用极限与左、右极限的关系（适用于求分段函数在分段点处的极限以及用定义求极限等情形）；(8)利用连续性（适用于求函数在其连续点处的极限）；思考题解答1.用定义证明。证：，要使。由于时的极限只与自变量邻近1的函数值有关，不妨考虑，即，此时，故只需使，即。取，则当时恒成立。由极限定义得。2、利用三角函数的周期性求极限（1）（2）（3），其中最

4、后一步用了是无穷小量，是有界变量，乘积仍为无穷小量。3、设，证明存在，并求其值。证明：，进而，猜测，用数学归纳法证明。假设时不等式成立，即，那么时，，即不等式成立。所以对任意自然数，都有，即单调增加。由，得，解得，所以有界。（或先观察，猜测，再用数学归纳法证明）因此存在.不妨设，在两端令得，，所以.典型例题例1、已知存在，，求。解：设，则，两边令，得，，。例2、（1）若，则_______,_______．（2）若，则_______,_______．（3）若在连续，且，则。（4）已知，则_______,_______．常

5、用结论：（1）若，并且，则。（2）若，，并且，则。证明：（1）。（2）。解：（1），所以，（2），所以。，所以。（3），由在连续得.（4）由得，，即，所以从而，．例3．若，讨论的间断点。解：，函数的间断点只能出现在分段点处。在处，所以为跳跃间断点。在处，，所以在连续。总之，的间断点为。例4.（1）已知，求。（2）若，求。（3）若，求。解：（1）（方法一）由，得，从而。（方法二）由极限与无穷小的关系得，，其中，从而，（2）由，得，所以。类似（1）的方法二留作练习。（3）由，得，故。类似（1）的方法二留作练习。例5、求极限

6、．解：，所以原极限等于1．例6、讨论函数在定义域内的连续性．解：因为在，为初等函数，所以在内连续．在处，，，所以，从而在处连续，因此函数在内连续．例7设在处连续，求的值.解：，，所以.例8设，求.解：因为，所以，可以得到，又因为，所以，故.例9设在上连续且.证明至少存在一点，使得下式成立,.证明：构造辅助函数，则，，若，只需取；若和都不等于零，则二者一定异号,由零点定理可得在在内至少存在一点，使得成立.例10求极限.解：由于；，所以不存在.例11求极限解:.例12求极限.解:.例13设，，，问数列的极限是否存在，若存在

7、，求其值.解:由及，知.假设对正整数，有，则有，由归纳法知对一切正整数都有，即为单调递减数列，又因为，即有下界，因此存在.不妨设，则有，，所以.