第二章_推理与证明章末归纳总结

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1、第二章推理与证明归纳是通过对特例的观察和综合去发现一般规律，一般通过观察图形或分析式子寻找规律，归纳过程的典型步骤是：先在诸多特例中发现某些相似性，再把相似性推广为一个明确表述的一般命题，最后对该命题进行检验或论证．[例1]在德国布莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个乒乓球；第2,3,4、…堆最底层(第一层)分别按如图所示方式固定摆放．从第二层开始，每层的乒乓球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)＝______

2、__；f(n)＝________(答案用n表示)．类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移，应用类比的关键就在于如何把相关对象在某些方面的一致性说清楚．常见的类比题型有两类：一类是类比旧知识，推出新结论；另一类是类比新知识，推出新结论．[例2]如图①所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．[解析]如图②所示，在四面体P－ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，

3、β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.从思维过程的指向来看，演绎推理是以某一类事物的一般判断为前提，而做出关于该类事物的判断的思维过程，因此是从一般到特殊的推理．数学中的演绎法一般是以三段论的格式进行的．三段论由大前提、小前提和结论三个命题组成，大前提是一个一般性原理；小前提给出了适合这个原理的一个特殊场合，结论是大前提和小前提的逻辑结果．综合法是我们在已经储存了大量的知识积累了丰富的经验的基础上所用的一种方法

4、，其优点是叙述起来简洁、直观、条理、清楚，综合法可使我们从已知的知识中进一步获得新知识．[例4]已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)(a>b>c)的图象与x轴有两个不同的交点A，B，且f(1)＝0.分析法是一种从未知到已知的逻辑推理方法．在探求问题的证明时，它可以帮助我们构思，因而在一般分析问题时，较多地采用分析法，只是找到思路后，往往用综合法加以叙述，正如恩格斯所说“没有分析就没有综合”，在数学证明中不能把分析法和综合法绝对分开．反证法不是去直接证明结论，而是先否定结论，在此基础上运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．数学

5、归纳法是专门证明与正整数有关的命题的一种方法．它是一种完全归纳法，它的证明共分两步，其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”(或称特殊性)．第二步解决的是延续性(又称传递性)问题．运用数学归纳法证明有关命题要注意以下几点：1．两个步骤缺一不可．2．第二步中，证明“当n＝k＋1时结论正确”的过程里，必须利用“归纳假设”即必须用上“当n＝k时结论正确”这一结论．3．在第二步的证明中，“当n＝k时结论正确”这一归纳假设起着已知的作用，“当n＝k＋1时结论正确”则是求证的目标．在这一步中，一般首先要凑出归纳假设里给出的形式，以便利用归纳假设，然后再

6、去凑出当n＝k＋1时的结论．数学归纳法可以用来证明与正整数有关的代数恒等式、三角恒等式、不等式、整除性问题及几何问题．求证:证:(1)当n=2时,左边=,右边=,由于故不等式成立.(2)假设n=k()时命题成立,即则当n=k+1时,即当n=k+1时,命题成立.由(1)、(2)原不等式对一切都成立.