在矩形折叠中体现勾股定理的应用价值.doc

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1、在矩形折叠中体现勾股定理的应用价值东海外国语学校庄立华在初中数学中，折叠问题将图形的变换与学生的实际操作能力紧密的联系起来。在折叠过程中，通过观察图形中的变与不变，灵活应用平面图形的基本性质解决问题，在变化过程中，使学生初步体会数学的动态美，同时提高了学生的观察能力、空间想象能力及动手能力。尤其是矩形折叠的过程中找到直角三角形或构造直角三角形，利用勾股定理解决计算或证明。进一步发展有条理的思考与表达。下面就几道教学过程中和几道中考题来谈谈这类问题的处理方法。教学过程：一、情境创设，引入课题：在解决矩形折叠的计算与证明试题的过程中，经常会用到直角三角形中的勾股定理，来解

2、决与之相关的计算与证明。试一试，独立解决下面两个小题。（第1题）ABDCEF1.如图，将矩形ABCD的AD边沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，①如果∠BAF=60°,则∠DAE=。②如果AB=6，AD=10，△ABF的面积=。分析：①由题意得△ADE≌△AFE,故∠DAE=∠FAE=∠DAF=（90°-∠BAF）=15°②由△ADE≌△AFE得AF=AD=10,在Rt△BAF中AB=6，AF=10由勾股定理得，BF===8，则△ABF的面积=×6×8=24。（注：补充习题P57，T6；学习指导P73，T2）（第2题）ABDCEO2.如图，把矩形ABCD沿BD对折

3、，使点C落在点E处，BE与AD相交与点O。试写出一组相等的线段。（不包括AB=CD和AD=BC）分析：由题意德△BCD≌△BED,故DE=CD=AB，BE=BC=AD,∠DBE=∠DBC又由矩形ABCD中AD∥BC有∠ADB=∠DBC，故有∠ADB=∠DBC；进而在△BOD由等角对等边得OB=OD,进而得到AE﹣OB=AD﹣OD得OA=OE；（注：补充习题P57，T4；）二、互动探究、进入课题：经过上面两个小题的小试牛刀，大家应该看到，矩形折叠问题实际上就是轴对称（折叠前后图形全等）和勾股定理结合应用，下面请同学们小组合作解决两个矩形折叠的计算与证明问题。例1：如下图

4、，在矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=8。①把矩形纸片ABCD沿BD沿BD折叠，如下图1，使点A落在点E处，DE与BC相交与点F，求BF的长。E图1ABDCF分析：由上题易得BF=DF，结合题意，设BF=DF=，则CF=，在Rt△CDF中，由勾股定理得，，解之得。②将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，如下图2，求折痕GH的长。图2HABDCFGO分析：连接BD,交GH与点O，由题意知GH垂直平分BD，设BH=，则DH=,CH=8-,在Rt△CDH中，得，解得。在Rt△BOH中，所以折痕GH的长（注：课本P111，T20；）例2：（2012贵州遵义）如图，矩形A

5、BCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为（）A．B．C．D．考点：翻折变换（折叠问题），矩形的性质和判定，折叠对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。解析：过点E作EM⊥BC于M，交BF于N。∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°AD=BC，∵∠EMB=90°，∴四边形ABME是矩形。∴AE=BM，由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，∴EG=BM。∵∠ENG=∠BNM，∴△ENG≌△BNM（AAS）。∴NG=NM。∵E是AD的中点，CM=DE，∴AE=ED=B

6、M=CM。∵EM∥CD，∴BN：NF=BM：CM。∴BN=NF。∴NM=CF=。∴NG=。∵BG=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG﹣NG=。∴BF=2BN=5∴。故选B。随练：1.（2012贵州黔西南）把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF，若AB＝3cm，BC＝5cm，则重叠部分△DEF的面积为▲cm2。考点：折叠问题，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理。解析：设ED=x，则根据折叠和矩形的性质，得A′E=AE=5－x，A′D=AB=3。根据勾股定理，得，即，解得。AEDCBH图3F∴（cm2）。2.如图3，在矩形ABCD中，AB

7、=4cm，AD=3cm。把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE。试问四边形ACED是什么图形？请说明理由，并计算它的面积。解析：根据题意，得Rt△ACD≌Rt△CAE，所以∠ACD=∠CAE,设AE与CD的交点为F，则AF=CF，所以FE=FD,∠AED=∠CDE。因为∠AFC=∠EFD，所以∠CDE+∠AED=∠ACD+∠CAE，即∠CDE=∠ACD。所以DE∥AC。所以四边形ACED是等腰梯形。根据题意，得AC=5cm。作DH⊥AC交AC与点H，设AH=cm，则HC=（5-）cm。在Rt△ADH中，由勾股定理，得DH2=AD2-AH2。在