线性代数与解析几何——矩阵教学教材.ppt

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1、第二章矩阵§2.1矩阵与矩阵的运算一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义三、特殊的矩阵四、矩阵的运算√√√√√其中√表示有航班始发地ABCD目的地ABCD例某航空公司在A、B、C、D四座城市之间开辟了若干航线，四座城市之间的航班图如图所示，箭头从始发地指向目的地.BACD城市间的航班图情况常用表格来表示:√√一、矩阵概念的引入为了便于计算，把表中的√改成1，空白地方填上0，就得到一个数表：ABCDABCD√√√√√√√这个数表反映了四个城市之间交通联接的情况.其中aij表示工厂向第i家商店发送第j种货物的数量．

2、例某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：其中bi1表示第i种货物的单价，bi2表示第i种货物的单件重量．数域定义：对于一个至少含有0，1的复数集合的子集合F，如果其中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍在F中，那么F称为一个数域．所有的有理数、实数、复数都分别形成一个数域（有理数域、实数域、复数域），分别记为所有的奇数（偶数）都不能构成数域.构成一个数域.通常用表示这个数域.例集合证显然包含0,1并且对于加减法是封闭的.另外因为a,b,

3、c,d都是有理数，所以ac+2bd,ad+bc也是有理数.从而说明对乘法也是封闭的.设，则知对除法也封闭.行数不一定等于列数共有m×n个元素本质上就是一个数表行数等于列数共有n2个元素矩阵行列式同型矩阵与矩阵相等的概念两个矩阵的行数相等、列数相等时，称为同型矩阵.例如为同型矩阵.两个矩阵与为同型矩阵，并且对应元素相等，即则称矩阵A与B相等，记作A=B.注意：不同型的零矩阵是不相等的.例如只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).2.元素全是零的矩阵称为零距阵．可记作O.例

4、如：三、特殊的矩阵3.行数与列数都等于n的矩阵，称为n阶方阵．可记作.称为方阵的主对角线元素，所有主对角线元素的和称为方阵的迹，记为形如的方阵称为对角阵．特别的，方阵称为单位矩阵．记作记作．定义设，称是A的负矩阵，其中例某工厂生产四种货物，它在上半年和下半年向三家商店发送货物的数量可用数表表示：试求：工厂在一年内向各商店发送货物的数量．其中aij表示上半年工厂向第i家商店发送第j种货物的数量．其中cij表示工厂下半年向第i家商店发送第j种货物的数量．解：工厂在一年内向各商店发送货物的数量1、矩阵的加法定义

5、：设有两个m×n矩阵A=(aij)，B=(bij)，那么矩阵A与B的和记作A＋B，规定为说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.知识点比较交换律结合律其他矩阵加法的运算规律设A、B、C是同型矩阵设矩阵A=(aij)，记－A=(－aij)（A的负矩阵）．显然设工厂向某家商店发送四种货物各l件，试求：工厂向该商店发送第j种货物的总值及总重量．例（续）该厂所生产的货物的单价及单件重量可列成数表：其中bi1表示第i种货物的单价，bi2表示第i种货物的单件重量．解：工厂向该商店发送第j种货物的总值及总重

6、量其中bi1表示第i种货物的单价，bi2表示第i种货物的单件重量．2、数与矩阵相乘定义：数k是复数域中的一个数，它与矩阵A的乘积记作kA或Ak，规定为结合律分配律备注数乘矩阵的运算规律设A、B是同型矩阵，l,m是数矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.知识点比较其中aij表示工厂向第i家商店发送第j种货物的数量．例（续）某工厂生产四种货物，它向三家商店发送的货物数量可用数表表示为：这四种货物的单价及单件重量也可列成数表：其中bi1表示第i种货物的单价，bi2表示第i种货物的单件重量．试求：工厂向

7、三家商店所发货物的总值及总重量．解：以ci1，ci2分别表示工厂向第i家商店所发货物的总值及总重量，其中i=1,2,3．于是其中aij表示工厂向第i家商店发送第j种货物的数量．其中bi1表示第i种货物的单价，bi2表示第i种货物的单件重量．可用矩阵表示为一般地，4、矩阵与矩阵相乘定义：设，，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m×n矩阵，其中并把此乘积记作C=AB．例：设则知识点比较有意义.没有意义.只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例P.34例1.2结论：矩阵乘法不一定满足交

8、换律.矩阵，却有，从而不能由得出或的结论．矩阵乘法的运算规律(1)乘法结合律证明？(3)乘法对加法的分配律(2)数乘和乘法的结合律（其中l是数）(4)单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1，即矩阵乘法不一定满足交换律!!!(5)设A是一个n阶方阵，f(x),g(x)为复系数的多项式，则矩阵A的多项式f(A)和g(A)的乘法满足交换律,即f(A)g(A)=g(A)f(A).例：如果AB=BA,我们就称矩阵A，B可交换.证明和对角矩