能控性和能性.doc

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1、第五章能控性和能观性5－1离散时间系统的可控性定义设单输入n阶线性定常离散系统状态方程为：……………………………………………………………（5－1）其中X(k)__n维状态向量；u(k)__1维输入向量；G__n×n系统矩阵；h__n×1输入矩阵；如果存在有限步的控制信号序列u(k)，u(k+1)，…，u(N-1)，使得系统第k步上的状态X(k)能在第N步到达零状态，即X(N)＝0，其中N是大于k的有限正整数，那么就说系统第k步上的状态X(k)是能控的；如果第k步上的所有状态都能控，则称系统（5－1）在第k步上是完全能控的。进一步，如果系

2、统的每一步都是可控的，那么称系统（5－1）完全可控，或称系统为能控系统。　定理1单输入n阶离散系统（5－1）能控的充要条件是，能控判别阵：的秩等于n，即：　……………………………………（5－2）【证】：因为系统为一线性系统，不妨设系统从任一初态X(0)开始，在第n步转移到零状态，即X(n)=0。根据离散状态方程的解：……………………………………………………（5－3）因为X(n)＝0，所以：写成矢量形式：　…………………………………（5－4）从线性代数知识可知，上式中对于任意的初始状态X(0)，要求都存在一组控制序列u(0)，u(1)，…

3、，u(n-1)的充要条件是阶系数矩阵满秩，即　【例5－1】设离散系统状态方程为：判断系统的可控性。解：M是一方阵，其行列式为：所以系统能控判别阵满秩，系统可控。　定理2考虑多输入离散系统情况，假如线性定常离散系统状态方程为：　………………………………………………………（5－5）其中X为阶矢量，U为阶矢量，G为阶矩阵，H为n×r阶能控矩阵。那么离散系统（5－5）能控的充要条件是：能控判别阵的秩等于n。（证略）。　【例5－2】已知某离散系统的系统矩阵G和输入矩阵H分别为：试分析系统可控性。解：我们可以从M阵的前3个列明显看出，Rank（M）

4、=3=n，即满秩，所以系统可控。5－2线性定常连续系统能控性定义对于单输入n阶线性定常连续系统　…………………………………………………………………（5－6）若存在一个分段连续的控制函数u(t)，能在有限的时间段内把系统从时刻的初始状态X()转移到任意指定的终态，那么就称（5－6）系统在时刻的状态是能控；如果系统每一个状态都能控，那么就称系统是状态完全可控的。反之，只要有一个状态不可控，我们就称系统不可控。对于线性定常连续系统，为简便计，可以假设，，即0时刻的任意初始状态，在有限时间段转移到零状态（原点）。　定理3n阶系统（5－6）能控的

5、充要条件为能控判别阵：　……………………………………………………………（5－7）的秩等于n。【证】我们知道状态方程（5－6）的解为：　…………………………………………………（5－8）根据上述能控性定义，考虑时刻的状态，有：　…………………………………………………………（5－9）根据第三章（3－18）式：　…………………………………………………………………（5－10）其中是线性无关的标量函数。将（5－10）代入（5－9）得：　…………………………………………（5－11）其中：　…………………………………………………………（5－12）所以；

6、……………………………………（5－13）对于任意给定的初始状态X(0)，如果系统可控，那么都应该从（5－13）式求出一组值。根据线性代数知识，的系数矩阵的秩应等于n，即：求出一组后，根据（5－12）就可以求出一组分段连续的控制u(t)。　【例5－3】判别下列线性系统的可控性。解：Rank（M）=3=n，所以系统可控。　　【例5－4】试分析下列系统的可控性。①，②解：①所以，当，且λ1≠λ2时，

7、M

8、≠0,系统可控。②所以当时系统可控，否则不可控。　定理4对于多输入n阶连续定常系统　…………………………………………………………………………

9、（5－14）其中A为n×n阶阵，B为n×r阶阵，u为r维输入。系统能控的充要条件为能控判别阵的秩等于n，即rank(M)=n(证明略)　【例5－5】试分析下列系统的可控性。解：∵Rank（M）=2

10、系统控制u(t)有关联，应该受u(t)控制。但是由于内部的线性相关性，使得对任意给定初始状态X(0)，找不到分段连续的控制u(t)，能将X(0)的两个分量同时转移到零状态，所以系统是不可控的。　图5－1系统