系统的能控性和能观测性

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1、能控性(controllability)和能观测性(observability)深刻地揭示了系统的内部结构关系，由R.E.Kalman于60年代初首先提出并研究的这两个重要概念，在现代控制理论的研究与实践中，具有极其重要的意义，事实上，能控性与能观测性通常决定了最优控制问题解的存在性。例如，在极点配置问题中，状态反馈的存在性将由系统的能控性决定；在观测器设计和最优估计中，将涉及到系统的能观测性条件。第3章线性控制系统的能控性与能观测性3.1能控性和能观测性的定义所谓状态空间描述，就是用状态方程和输出方程来描述系统。状态方程描述了系统内部变量与外部控制作用的关系；输出方程描述了系统内部

2、状态变量与输出变量之间的关系。由此可知，状态空间描述从本质上提示了系统输入输出关系与内部结构的内在联系，这为深入研究系统内部结构提供了可能性。能控性：是指外加控制作用u(t)对受控系统的状态变量x(t)和输出变量y(t)的支配能力，它回答了u(t)能否使x(t)和y(t)作任意转移的问题。能观测性：是指由系统的量测输出向量y(t)识别状态向量x(t)的测辨能力，它回答了能否通过y(t)的量测值来识别x(t)的问题。当给定了初始状态x(t0)以及控制作用u(t)后，系统在任何时刻的状态x(t)就唯一地确定下来。对于给定的系统，当外加控制及作用点确定之后，有些状态分量能受外加控制作用u(

3、t)的控制，有些状态分量可能不受u(t)的控制。能受u(t)控制的状态称为能控状态，不能受u(t)控制的状态称不能控状态。同样，对于给定的系统，有些状态能够通过输出y(t)确定下来，有些状态不能通过y(t)确定下来。能够通过y(t)而确定下来的状态称为能观测状态，不能通过y(t)而确定下来的状态称为不能观测状态。设计一个线性系统，总是希望所施加的控制u(t)能完全控制系统的运动状态，而不希望出现失控现象。同时也希望通过y(t)能完全确定系统的运动状态，以便实现状态反馈控制。总之，能控性和能观测性分别是从状态的控制能力和状态的测辨能力两个方面揭示了控制系统的两个基本属性。现代控制理论的

4、许多基本问题，如最优控制和最优估计，都是以能控性和能观测性为存在条件的。二.对能控性和能观测性的直观讨论系统黑箱状态每一个状态变量运动都可由输入u(t)来影响和控制，而由任意的初始状态达到系统原点——状态能控。状态的任意形式的运动均可由输出完全反映——状态能观测。例1系统状态空间描述为：例2系统的原理电路图

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10、三能控性定义：考虑线性时变系统的状态方程：从上述定义看出：（1）状态转移的轨迹没加以限制和规定；（2）输入的每个分量的幅值不加以限制，但要求所有分量均是在J上平方可积的。（3）上述定义是对J中的一个取定时刻来定义的，对时变系统，能控性与有关，而对定常系统，能控与否与无关

11、。（4）由非零初始状态转移到零状态，为状态能控。如若由零初始状态转移到非零状态，则为状态能达的。对线性定常系统能控性和能达性是等价的，但对时变和离散系统，则是不等价的。（5）系统为不完全能控的情况是一种“奇异”的情况，若将系统中组成元件的参数值作很小变动，可使其成为可控的。四能观测性定义五能控性与能观测性基本性质1能控性基本性质：1）对于时变系统而言，能控性与的选择有关，对于定常系统而言，能控性与的选择无关。2）能控性具有不变性。因为能控性是系统的一个基本属性，它不受状态作任何非奇异变换的影响。3）系统在[]区间上完全能控时，则其非零能控初始状态必为：4）若系统在[]区间上完全能控，

12、对于，则系统在[]区间上也完全能控（传递性）。5）扰动作用f(t)不改变系统的能控性。6）对于系统（1），如果在[]区间上是能控的，则在[]区间上也必须是能控的。这里为任意非零实数。证明如下：2能观测性基本性质1）对于能观测性而言，能观性与的选择有关。对于定常系统而言，能观性与的选择无关。2）能观性具有不变性。它不受状态作任何非奇异变换的影响。3）系统在[]区间上完全能观时，则其能观状态必为:4）若系统在[]区间上完全能观，对于，则系统在[]区间上也完全能观。5）控制作用u(t)和扰动作用f(t)均不能改变系统的能观性。一线性系统的能控性判据线性定常系统状态方程1格拉姆矩阵判据线性定

13、常系统（3）为完全能控的充分必要条件是，存在时刻，使如下定义的格拉姆（Gram）矩阵。3.2线性连续时间系统的能控性判据状态的能控性线性定常系统的状态方程式中：定义：如果对系统施加一个无约束的控制信号u(t)，在有限的时间间隔to≤t≤t1内，将系统的任一初始状态x(t0)转移到终端状态x(tf)，那么，称此系统的状态在t=to时是完全能控的，简称系统的状态是能控的。不失一般性，设终止状态为状态空间原点即x(tf)=0，并设初始时刻为零，即to=0，系统状