实数与向量的积.doc

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1、第五教时教材：实数与向量的积目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。二、1．引入新课：已知非零向量作出++和(-)+(-)+(-)BAOCPQMN==++=3==(-)+(-)+(-)=-3讨论：1°3与方向相同且

2、3

3、=3

4、

5、2°-3与方向相反且

6、-3

7、=3

8、

9、2．从而提出课题：实数与向量的积[来源:学

10、科

11、网Z

12、X

13、X

14、K]实数λ与向量的积，记作：λ定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ1°

15、λ

16、=

17、λ

18、

19、

20、2°λ>0时λ与方向相同；λ<

21、0时λ与方向相反；λ=0时λ=3．运算定律：结合律：λ(μ)=(λμ)①第一分配律：(λ+μ)=λ+μ②第二分配律：λ(+)=λ+λ③结合律证明：如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则①式成立如果λ¹0，μ¹0，¹有：

22、λ(μ)

23、=

24、λ

25、

26、μ

27、=

28、λ

29、

30、μ

31、

32、

33、[来源:Z+xx+k.Com][来源:学*科*网Z*X*X*K]

34、(λμ)

35、=

36、λμ

37、

38、

39、=

40、λ

41、

42、μ

43、

44、

45、∴

46、λ(μ)

47、=

48、(λμ)

49、如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与同向；如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与反向。从而λ(μ)=(λμ)第一分配律证明：如

50、果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则②式显然成立如果λ¹0，μ¹0，¹当λ、μ同号时，则λ和μ同向，[来源:Zxxk.Com]∴

51、(λ+μ)

52、=

53、λ+μ

54、

55、

56、=(

57、λ

58、+

59、μ

60、)

61、

62、

63、λ+μ

64、=

65、λ

66、+

67、μ

68、=

69、λ

70、

71、

72、+

73、μ

74、

75、

76、=(

77、λ

78、+

79、μ

80、)

81、

82、∵λ、μ同号∴②两边向量方向都与同向即：

83、(λ+μ)

84、=

85、λ+μ

86、当λ、μ异号，当λ>μ时②两边向量的方向都与λ同向当λ<μ时②两边向量的方向都与μ同向还可证：

87、(λ+μ)

88、=

89、λ+μ

90、∴②式成立第二分配律证明：如果=，=中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立OA

91、BB1A1当¹，¹且λ¹0，λ¹1时1°当λ>0且λ¹1时在平面内任取一点O，作λλ则+λ+λ由作法知：∥有ÐOAB=ÐOA1B1

92、

93、=λ

94、

95、∴λ∴△OAB∽△OA1B1∴λÐAOB=ÐA1OB1因此，O，B，B1在同一直线上，

96、

97、=

98、λ

99、与λ方向也相同AOBB1A1λ(+)=λ+λ当λ<0时可类似证明：λ(+)=λ+λ∴③式成立4．例一（见P104）略三、向量共线的充要条件（向量共线定理）1．若有向量(¹)、，实数λ，使=λ则由实数与向量积的定义知：与为共线向量若与共线(¹)且

100、

101、：

102、

103、=μ，则当与同向时=μ当与反向时=-μ

104、[来源:学#科#网]从而得：向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ使=λ2．例二（P104-105略）三、小结：四、作业：课本P105练习P107-108习题5.31、2