3 实数与向量的积

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1、3实数与向量的积一、基础知识：（一）、实数与向量的积　１．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（１）；（２）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，。　２．实数与向量积的运算律：（１）结合律：；（２）分配律：；。（以上3．向量共线定理：如果有一个实数，使，那么与是共线向量；反之，如果与是共线向量，那么有且仅有一个实数，使。（二）、平面向量的基本定理　定理：如果、是同一平面内两个不共线向量，那么对这一平面内任一向量，有且只有一对实数、，使成立，这时我们称不共线向量、为这一平面内所有向量的一组基底。二、基本题型：1．已知，

2、则在以下各命题中，正确的命题共有个。①<，≠时，与的方向一定相反；②>，≠时，与的方向一定相同；③≠，≠时，与是共线向量；④>，≠时，与的方向一定相同；⑤<，≠时，与的方向一定相反。2．已知、是一对不共线的非零向量，若，，且、共线，则。3．已知向量、，且，，，则一定共线的三点的序号是①A、B、D；②A、B、C；③B、C、D④A、C、D。4．已知、7是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的序号是。①和；②和；③和；④和。5．已知的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足，则P与的关系正确的序号是。①P在的内部；②P在的外部；③P在所在直线上；④P是的

3、一个三等分点。6．已知点G是的重心，过G作BC的平行线与AB、AC分别交于E、F，若，则。7．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，或，其中，则____。.8．如图所示，以向量，，为边作平行四边形，，，用，表示、、。9．设过的重心G的直线与、分别交于P、Q两点，设，，求证：。710．如图，已知梯形ABCD中，∥，、分别是、边上的中点，且，设，，以、为基底表示、、。11．设，是两个不共线的向量，已知=2+，=+3，=2-，若A、B、D三点共线，求的值。12．设、不共线，点在上。求证：且，、。73数与向量的积一、基础知识：（一）、实数与向量的积　１．实数与向

4、量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（１）；（２）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，。　２．实数与向量积的运算律：（１）结合律：；（２）分配律：；。（以上3．向量共线定理：如果有一个实数，使，那么与是共线向量；反之，如果与是共线向量，那么有且仅有一个实数，使。（二）、平面向量的基本定理　定理：如果、是同一平面内两个不共线向量，那么对这一平面内任一向量，有且只有一对实数、，使成立，这时我们称不共线向量、为这一平面内所有向量的一组基底。平面向量的基本定理陈述了这样一个事实，即：如果已知平面内两个不共线的向量，那么对平面内任一

5、向量都可找到唯一的实数对，把这一向量分角。这与物理中力的分解有共同之处，我们可以通过类比的办法加以理解，另外注意这两个基底不是唯一的，只要是平面内不共线的两个向量都可以。二、基本题型：1．已知，则在以下各命题中，正确的命题共有个。（5）①<，≠时，与的方向一定相反；②>，≠时，与的方向一定相同；7③≠，≠时，与是共线向量；④>，≠时，与的方向一定相同；⑤<，≠时，与的方向一定相反。2．已知、是一对不共线的非零向量，若，，且、共线，则。3．已知向量、，且，，，则一定共线的三点的序号是（①）①A、B、D；②A、B、C；③B、C、D④A、C、D。4．已知、是表示平面内所有向量的

6、一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的序号是。（②）①和；②和；③和；④和。5．已知的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足，则P与的关系正确的序号是。（④）①P在的内部；②P在的外部；③P在所在直线上；④P是的一个三等分点。6．已知点G是的重心，过G作BC的平行线与AB、AC分别交于E、F，若，则。7．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，或，其中，则____。.4/3解：设、则,,代入条件得8．如图所示，以向量，，为边作平行四边形，，7，用，表示、、。（，，）9．设过的重心G的直线与、分别交于P、Q两点，设，，求证：。证明：如图，设，∴，∵，∴

7、，从而。10．如图，已知梯形ABCD中，∥，、分别是、边上的中点，且，设，，以、为基底表示、、。（；；）11．设，是两个不共线的向量，已知=2+，=+3，=2-，若A、B、D三点共线，求的值。解：-=（+3）-（2-）=4-，∵A、B、D三点共线，∴存在实数，使得=。∴2+=（4-）。故。∴=-8。12．设、不共线，点在上。求证：且，、。证明：∵点在上，∴与共线，从而。∴。令，。∴且，、。77