归纳法证明不等式1

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1、归纳法证明不等式1选修4-学案§411数学归纳法证明不等式姓名☆学习目标：1理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;2会运用数学归纳法证明不等式重点：应用数学归纳法证明不等式☻知识情景：关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法证明其正确性：10验证n取时命题(即n＝时命题成立)(归纳奠基）；20假设当时命题成立，证明当n=＋1时命题(归纳递推）30由10、20知，对于一切n≥的自然数n命题！(结论）要诀:递推基础,归纳假设,结论写明☆数学归纳法的应用：例1用

2、数学归纳法证明不等式例2已知x>-1，且x¹0，n&Iir;N*，n≥2．求证：(1+x)n>1+nx例3证明:如果为正整数)个正数的乘积,那么它们的和例4证明:例当时,求证:选修4-练习§411数学归纳法证明不等式（1）姓名1、已知f(n)=(2n+7)•3n+9,存在自然数,使得对任意n∈N,都能使整除f(n)，则最大的的值为()A30B2636D62、观察下列式子：…则可归纳出_________3、已知,,则的值分别为_________，由此猜想_____

3、____4、用数学归纳法证明:能被8整除、用数学归纳法证明6、用数学归纳法证明4+3n+2能被13整除，其中n∈N7、求证：8、已知，，用数学归纳法证明：9、求证：用数学归纳法证明．答案:1关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法证明其正确性：10验证n取第一个值时命题成立(即n＝时命题成立)(归纳奠基）；20假设当n=时命题成立，证明当n=＋1时命题也成立(归纳递推）30由10、20知，对于一切n≥的自然数n命题都成立！(结论）要诀:递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明

4、莫忘掉例1⑴当时,上式左边右边,不等式成立⑵设当时,不等式成立,即有那么,当时,=例2证明:(1)当n=2时，左＝(1＋x)2=1+2x+x2∵x¹0，∴1+2x+x2>1+2x=右,∴n=2时不等式成立（2）假设n=(≥2)时，不等式成立，即(1+x)>1+x当n=+1时，因为x>-1，所以1+x>0，于是左边=(1+x)+1右边=1+(+1)x．因为x2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)+1>1+(+1)x．这就是说，原不等式当n=+1时也成立．根据(

5、1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立例3证明:⑴当时,有，命题成立⑵设当时，命题成立，即若个正数的乘积,那么它们的和那么当时,已知个正数满足若个正数都相等,则它们都是1其和为,命题成立若这个正数不全相等,则其中必有大于1的数,也有小于1的数(否则与矛盾)不妨设例4证:(1)当n=1时,左边=,右边=,由于故不等式成立(2)假设n=()时命题成立,即则当n=+1时,即当n=+1时,命题成立由(1)、(2)原不等式对一切都成立例（1）练习1．解析：∵f(1)=36,f(2)=108=

6、3×36,f(3)=360=10×36∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除证明：n=1,2时，由上得证，设n=(≥2)时，f()=(2+7)•3+9能被36整除，则n=+1时，f(+1)－f()=(2+9)•3+1－(2+7)•3=(6+27)•3－(2+7)•3=(4+20)•3=36(+)•3－2(≥2)f(+1)能被36整除∵f(1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的值

7、等于36答案：2、解析：(n∈N*)(n∈N*)、、、4、证:(1)当n=1时,A1=+2+1=8,命题显然成立(2)假设当n=时,A能被8整除,即是8的倍数那么:因为A是8的倍数,3-1+1是偶数即4(3-1+1)也是8的倍数,所以A+1也是8的倍数,即当n=+1时,命题成立由(1)、(2)知对一切正整数n,An能被8整除．证明：1当n=1时，左边=1-=，右边==，所以等式成立。2假设当n=时，等式成立，即。那么，当n=+1时，这就是说，当n=+1时等式也成立

8、。综上所述，等式对任何自然数n都成立。6．证明：(1)当n=1时，42×1+1+31+2=91能被13整除(2)假设当n=时，42+1+3+2能被13整除，则当n=+1时，42(+1)+1+3+3=42+1•42+3+2•3－42+1•3+42+1•3=42+1•13+3•(42+1+3+2)∵42+1•13能被13整除，42+1+3+2能被13整除∴当n=+1时也成立由①②知，当n∈N*时，42n+1+3n+