2012年全国数学中考二次函数压轴题集锦

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1、24．湖州2012如图1，已知菱形ABCD的边长为，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点．点D的坐标为（-，3），抛物线y=ax2+b（a≠0）经过AB、CD两边的中点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF．设菱形ABCD平移的时间为t秒（0＜t＜3）①是否存在这样的t，使△ADF与△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②连接FC，以点F为旋转中心，将△FEC按顺时针方向旋转18

2、0°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围．（写出答案即可）【答案】解：（1）由题意得AB的中点坐标为（－3，0），CD的中点坐标为（0，3），分别代入y=ax2+b，得，解得，。∴这条抛物线的函数解析式为y=－x2＋3。（2）①存在。如图2所示，在Rt△BCE中，∠BEC=90°，BE=3，BC=，∴。∴∠C=60°，∠CBE=30°。∴EC=BC=，DE=。又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C=180°。∴∠ADC=180°-60°=120°要使△ADF

3、与△DEF相似，则△ADF中必有一个角为直角。（I）若∠ADF=90°，∠EDF=120°－90°=30°。在Rt△DEF中，DE=，得EF=1，DF=2。又∵E（t，3），F（t，－t2+3），∴EF=3－（－t2＋3）=t2。∴t2=1。∵t＞0，∴t=1。此时，∴。又∵∠ADF=∠DEF，∴△ADF∽△DEF。（II）若∠DFA=90°，可证得△DEF∽△FBA，则。设EF=m，则FB=3－m。∴，即m2－3m＋6=0，此方程无实数根。∴此时t不存在。（III）由题意得，∠DAF＜∠DAB=60°，∴∠DAF≠90

4、°，此时t不存在。综上所述，存在t=1，使△ADF与△DEF相似。②。22．福州2012(满分14分)如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点．(1)求抛物线的解析式；(2)将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；(3)如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)．考点：二次函数综合题．分析：(1)利用待定系数法求出二次函数解析式

5、即可；(2)根据已知条件可求出OB的解析式为y＝x，则向下平移m个单位长度后的解析式为：y＝x－m．由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标；(3)综合利用几何变换和相似关系求解．方法一：翻折变换，将△NOB沿x轴翻折；方法二：旋转变换，将△NOB绕原点顺时针旋转90°．ABDOxy第22题图①ABDOxy第22题图②N特别注意求出P点坐标之后，该点关于直线y＝－x的对称点也满足题意，即满足题意的P点有两个，避免漏解．解答：解：(1)∵抛物线y＝

6、ax2＋bx(a≠0)经过点A(3，0)、B(4，4)．∴，解得：．∴抛物线的解析式是y＝x2－3x．(2)设直线OB的解析式为y＝k1x，由点B(4，4)，得：4＝4k1，解得k1＝1．∴直线OB的解析式为y＝x．∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y＝x－m．∵点D在抛物线y＝x2－3x上．∴可设D(x，x2－3x)．又点D在直线y＝x－m上，∴x2－3x＝x－m，即x2－4x＋m＝0．∵抛物线与直线只有一个公共点，∴△＝16－4m＝0，解得：m＝4．此时x1＝x2＝2，y＝x2－3x＝－2，∴D点坐标为(2

7、，－2)．(3)∵直线OB的解析式为y＝x，且A(3，0)，∴点A关于直线OB的对称点A'的坐标是(0，3)．设直线A'B的解析式为y＝k2x＋3，过点B(4，4)，∴4k2＋3＝4，解得：k2＝．∴直线A'B的解析式是y＝x＋3．∵∠NBO＝∠ABO，∴点N在直线A'B上，DABOxyN图1A'P1N1P2B1∴设点N(n，n＋3)，又点N在抛物线y＝x2－3x上，∴n＋3＝n2－3n，解得：n1＝－，n2＝4(不合题意，会去)，∴点N的坐标为(－，)．方法一：如图1，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，则N1(－

8、，－)，B1(4，－4)，∴O、D、B1都在直线y＝－x上．∵△P1OD∽△NOB，∴△P1OD∽△N1OB1，∴＝＝，∴点P1的坐标为(－，－)．将△OP1D沿直线y＝－x翻折，可得另一个满足条件的点P2(，)．图2A'N2P1P2B2ABDOxyN综上所述，点P的坐标是(－，－)或(，)．方法二：如图2，将△NO