实验二：迭代法、初始值与收敛性.doc

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1、实验二：迭代法、初始值与收敛性一：实验要求考虑一个简单的代数方程针对上述方程，可以构造多种迭代法，如等。在实轴上取初值，分别用以上迭代做实验，记录各算法的迭代过程。二：实验要求及实验结果（1）取定某个初始值，按如上迭代格式进行计算，它们的收敛性如何？重复选取不同放入初始值，反复实验。请读者自行设计一种比较形象的记录方式（如何利用Matlab的图形功能），分析三种迭代法的收敛性与初值的选取关系。（2）对三个迭代法中的某一个，取不同的初值进行迭代，结果如何？试分析对不同的初值是否有差异？实验内容：ⅰ）对进行迭代运算，选取迭代次数n=20；分别

2、选择初值-0.6，1.6进行实验，并画出迭代结果的趋势图。编写MATLAB运算程序如下：%迭代法求解%令x=x^2-1clearn=30;x=-0.5;x1=x^2-1;fori=1:nx1=x1^2-1;xx(i)=x1;endm=linspace(0,29,n);plot(m,xx)title('x=-0.5')如上图所示，选取初值分别为-0.6、1.6时，结果都是不收敛的。分析：，，要想在某一邻域上但是，所以不存在某个邻域使得该迭代公式收敛。即迭代公式对任何初值都是发散的。ⅱ）对进行迭代运算，选取迭代次数n=30；分别选择初值=-0

3、.7，2.1进行实验，并画出迭代结果的趋势图。编写MATLAB运算程序如下：%迭代法求解%令x=x^2-1clearn=20;x=-0.5;x1=1+1./x;fori=1:nx1=1+1./x1;xx(i)=x1;endm=linspace(0,29,n);plot(m,xx,'b')title('x=-0.5')如上图所示，选取初值分别为-0.7、2.1时，结果都是收敛。分析：设在上有界，且则由迭代式对任意初始值产生的序列都收敛。同时由可以看到，在选取初值，在进行n次迭代后，都会存在一个，此时相当于是在范围内的初始值，迭代公式产生的序

4、列收敛。所以初值的选取对数列的收敛性没有影响。ⅲ）对进行迭代运算，选取迭代次数n=20；分别选择初值=-0.6，2.1进行实验，并画出迭代结果的趋势图。编写MATLAB运算程序如下：%迭代法求解%令x=sqrt(1+x)clearn=20;x=-0.5;x1=sqrt(1.+x);fori=1:nx1=sqrt(1+x1);xx(i)=x1;endm=linspace(0,29,n);plot(m,xx,'b')title('x=-0.5')如上图所示，选取初值分别为-0.6、2.1时，结果都是收敛。分析：设在实数域上有界，且则由迭代式对

5、任意初始值产生的序列都收敛。同时由可以看到，在选取初值，对迭代结果所产生的虚数的实部和虚部也是收敛的。如初值选取x=-3，得到20次的迭代结果如下：实部收敛于1.618，虚部收敛于0，Columns1through51.1688+0.6050i1.4867+0.2035i1.5782+0.0645i1.6058+0.0201i1.6143+0.0062iColumns6through101.6169+0.0019i1.6177+0.0006i1.6179+0.0002i1.6180+0.0001i1.6180+0.0000iColumns

6、11through151.6180+0.0000i1.6180+0.0000i1.6180+0.0000i1.6180+0.0000i1.6180+0.0000iColumns16through201.6180+0.0000i1.6180+0.0000i1.6180+0.0000i1.6180+0.0000i1.6180+0.0000i上图是初值选取为-3的迭代结果趋势图，可以看出，当迭代结果为虚数时，迭代结果最终还是收敛的。在进行n次迭代后，实部都会存在一个，此时相当于是在范围内的初始值，迭代公式产生的序列收敛。所以初值的选取对数列的收

7、敛性没有影响。（1）线性方程组迭代法的收敛性是不依赖初值的选取的。比较线性与非线性问题迭代的差异，有何结论和问题。ⅰ）对线性方程，设，则。若线性方程的迭代是收敛的，则有对而言，在上，都有，所以，对任何初值，方程的迭代都是收敛的，不受初值的影响。若线性方程的迭代是发散的，则对任何初值都发散，方程迭代的收敛性也不受初值的影响。ⅱ）对非线性方程的迭代，就复杂的多。对于方程迭代发散的方程而言，无论初值如何选择，收敛性是不会改变的。方程的迭代还是发散。对方程迭代收敛的情况而言，若想要使得初值的选择不会影响收敛性，那必须要使得并且在某一定点的邻域内，

8、情况是很复杂的。