空间中的垂直关系教案

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1、空间中的垂直关系教案空间中的垂直关系一教学内容：空间中的垂直关系二、学习目标1、掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；2、掌握平面与平面垂直的概念和判定定理、性质定理，并能运用它们进行推理论证和解决有关问题；3、在研究垂直问题时，要善于应用“转化”和“降维”的思想，通过线线、线面、面面平行与垂直关系的转化，从而使问题获得解决。三、知识要点1、直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直。2、直线与平面垂直的判定：常用方法有：①判定定理：②b⊥α,a∥ba⊥α；（线面垂直性质定理）

2、③α∥β,a⊥βa⊥α（面面平行性质定理）④α⊥β，α∩β=l，a⊥l，aβa⊥α（面面垂直性质定理）3、直线与平面垂直的性质定理：①如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。（a⊥α，b⊥αͤa∥b）②直线和平面垂直时，那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线（）4、点到平面的距离的定义：从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的线段的长度叫做这个点到平面的距离。特别注意：点到面的距离可直接向面作垂线，但要考虑垂足的位置，如果垂足的位置不能确定，往往采取由点向面上某一条线作垂线，再证明此垂足即为面的垂足。、平面与平面垂直的定义及判定定理：（1）定义：如果两

3、个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就说这两个平面互相垂直。记作：平面α⊥平面β（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（简称：线面垂直，面面垂直）6、两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。（简称：面面垂直，线面垂直。）思维方式：判定两相交平面垂直的常用方法是：线面垂直，面面垂直；有时用定义也是一种办法。【典型例题】例1、（1）对于直线、n和平面α、β，α⊥β的一个充分条是（）A、⊥n，∥α，n∥βB、⊥n，α∩β=，nα、∥n，n⊥

4、β，αD、∥n，n⊥β，⊥α（2）设a、b是异面直线，给出下列命题：①经过直线a有且仅有一个平面平行于直线b；②经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b；③存在分别经过直线a和b的两个平行平面；④存在分别经过直线a和b的两个平面互相垂直。其中错误的命题为（）A、①与②B、②与③、③与④D、仅②（3）已知平面α⊥平面β，是α内一条直线，n是β内一条直线，且⊥n，那么，甲：⊥β；乙：n⊥α丙：⊥β或n⊥α；丁：⊥β且n⊥α。这四个结论中，不正确的三个是（）解：（1）对于A，平面α与β可以平行，也可以相交，但不垂直。对B，平面α内直线n垂直于两个平面的交线，直线n与平面β不一定垂直，平

5、面α、β也不一定垂直。对D，⊥α，∥n则n⊥α，又n⊥β，所以α∥β。只有正确，∥n，n⊥β则⊥β又α，由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β。故选。（2）①正确，过a上任一点作b的平行线b′，则ab′确定唯一平面。②错误，假设成立则b⊥该平面，而a该平面，∴a⊥b，但a、b异面却不一定垂直。③正确，分别过a、b上的任一点作b、a的平行线，由各自相交直线所确定的平面即为所求。④正确，换角度思考两个垂直的平面内各取一直线会出现各种异面形式，综上所述：仅②错误选D（3）丙正确。举反例：在任一平面中作平行于交线的直线（或n），在另一平面作交线的垂线n（或）即可推翻甲、乙、丁三项。思维点拨

6、：解决这类问题关键是注意这是在空间而非平面内。例2、如图，ABD为直角梯形，∠DAB=∠AB=90°，AB=B=a，AD=2a，PA⊥平面ABD。PA=a。（1）求证：P⊥D。（2）求点B到直线P的距离。（1）证明：取AD的中点E，连A、E，则ABE为正方形，ΔED为等腰直角三角形，∴A⊥D，∵PA⊥平面ABD，∴A为P在平面ABD上的射影，∴P⊥D（2）解：连BE，交A于，则BE⊥A，又BE⊥PA，A∩PA=A，∴BE⊥平面PA过作H⊥P于H，则BH⊥P，∵PA=a，A=a,P=a，∴H=，∵B=a，∴BH=即为所求。例3、在斜三棱柱A1B11—AB中，底面是等腰三角形，AB

7、=A，侧面BB11⊥底面AB（1）若D是B的中点，求证AD⊥1；（2）过侧面BB11的对角线B1的平面交侧棱于，若A=A1，求证截面B1⊥侧面BB11；（3）A=A1是截面B1⊥平面BB11的充要条吗？请你叙述判断理由。命题意图：本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质。知识依托：线面垂直、面面垂直的判定与性质。错解分析：（3）的结论在证必要性时，辅助线要重新作出。技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条的思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙地作辅助线。（1