24. 典型应用题(四)植树问题、平均数问题

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1、第二十四讲应用题（四）植树问题：例1一条公路长540米，在公路的一侧每隔3米种1棵树，共种多少棵？分析：此题是植树问题。植树问题一般是研究株数、株距、总距离三者之间的关系。需要注意的是：如果在首尾不连接的线路上（公路旁）植树，两端都要栽1棵。其一般公式是：　　（1）总距离÷株距+1=株数（2）总距离÷（株数-1）=株距　　（3）株距×（株数-1）=总距离　　如果是在封闭的（圆形水池或方形场地）线路上植树，株数=总距离÷株距，就不存在加1或减1的问题。本题是属于求株数的问题。解：（1）以3米为一段，全长可以分多少段？540÷3=180（段）　　（2）共种树多少棵

2、？180+1=181（棵）　　综合算式：540÷3+1=180+1=181（棵）　　答：共种树181棵。例2一队学生共438人进行军训，每3人一排，排与排之间距离1.2米，每分钟走56米，这支队伍要经过1226米长的大桥，需要几分钟？分析：解题的关键是要先求出这支队伍的长度，全队共能排成438÷3=146（排），从排头到排尾共有146-1=145（间隔），这样，就可以求出队伍的长度。队伍过桥是指队伍的排头刚上桥到队伍的末尾刚下桥共走的路程。解：（1）全队共有多少排？438÷3=146（排）　　（2）队伍有多长？1.2×（146-1）=174（米）　　（3）共走

3、的路程是多少米？1226+174=1400（米）　　（4）经过大桥需要多少分钟？1400÷56=25（分钟）　　综合算式：［1.2×（438÷3-1）+1226]÷56=[1.2×145+1226］÷56=1400÷56　　=25（分钟）答：经过大桥需要25分钟。例3在一个圆形池周围植树，把树植在距池塘边为3.5米的圆周上，每隔2米植1棵树，共植314棵，这个圆形池塘的周长是多少米？分析：要想求出池塘的周长，必须先求出池塘的直径，池塘的直径等于一圈树围成的圆的直径减去3.5×2（米）。解：（1）一圈树的周长是多少米？2×314=628（米）　　（2）一圈树的直

4、径是多少米？628÷23.14=200（米）　　（3）池塘的直径是多少米？200-3.5×2=193（米）　　（4）池塘的周长是多少米？193×3.14=606.02（米）　　综合算式：（2×314÷3.14-3.5×2）×3.14=193×3.14=606.02（米）答：池塘的周长为606.02米。平均数问题：n个数之和除以数的个数所得到的数，叫做这n个数的算术平均数，简称为平均数。（n≥2）　　我们常把求两个或两个以上数的平均数的应用题，叫做平均数问题。　　这类应用题的基本数量关系是：　　总和÷个数＝平均数例1炼钢厂在一个星期里，前3天炼钢0.48万吨，后

5、4天炼钢0.78万吨。这个星期平均每天炼钢多少万吨？解：（0.48＋0.78）÷（3＋4）　　＝1.26÷7＝0.18（万吨）　　答：平均每天炼钢0.18万吨。例2炼钢厂在一个星期里，前3天平均每天炼钢0.16万吨，后4天平均每天炼钢0.195万吨。这个星期平均每天炼钢多少万吨？解：（0.16×3＋0.195×4）÷（3＋4）　　＝（0.48＋0.78）÷7　　＝1.26÷7＝0.18（万吨）　　答：平均每天炼钢0.18万吨。　　例2与例1相比，例2没有明确地告诉我们总数量与总份数，要先分别求出来，但题目中所反映的基本数量关系没有变化。　　解答例2时，容易发生

6、下面的错误：　　（0.16＋0.195）÷2　　＝0.355÷2＝0.1775（万吨）　　答：从略。　　发生这类错误的原因是解题时忽略了题目中的已知条件，虽然0.16万吨和0.195万吨都是两段时间内每天的炼钢的数量，但这两段时间不同，有“前3天”和“后4天”的区别。　　在运用求平均数的知识解决实际问题时，还会遇到一个新概念——中位数。例31966，1976，1986，1996，2006这五个数的总和是多少？（第一届《华罗庚金杯》少年数学邀请赛初赛试题）解：这道题有许多解法。用连加法解答，显然太繁琐；用等差数列求和公式解答，计算步骤也不少；如果注意到1966与

7、2006分别比1986少20和多20，1976与1996分别比1986少10和多10，用移多补少的办法就很简单，移补后变成5个1986，其和为1986×5＝9930。　　怎样灵活地运用有关求平均数的知识。解决实际问题呢？　　请看以下例题。例4某车间有3个生产班组，第一组有工人5人，共生产零件167个；第二组比第一组多2人，共生产零件206个；第三组和第二组工人同样多，生产的零件却比第二组多10个。这个车间平均每个工人生产零件多少个？解：分别求出生产零件的总数量和这个车间的总人数，就不难求出平均每个工人生产零件多少个。　　可依题目条件列出下表：　　第一组第二组第

8、三组　　零件数167206206＋10