高等数学考研知识点总结.doc

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1、@第一讲函数、极限与连续一、考试要求1．理解函数的概念，掌握函数的表示方法，会建立应用问题的函数关系。2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。5．理解（了解）极限的概念，理解（了解）函数左、右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。6．掌握（了解）极限的性质，掌握四则运算法则。7．掌握（了解）极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握（会）利用两个重要极限求极限的方法。8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。9．理

2、解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。11.掌握（会）用洛必达法则求未定式极限的方法。二、内容提要1、函数（1）函数的概念:y=f(x)，重点：要求会建立函数关系.（2）复合函数:y=f(u),u=，重点：确定复合关系并会求复合函数的定义域.（3）分段函数:注意，为分段函数.（4）初等函数：通过有限次的四则运算和复合运算且用一个数学式子表示的函数。（5）函数的特性：单调性、有界性、奇偶性和周期性*注：1、可导奇(偶)函数的导函数为偶(奇

3、)函数。特别：若为偶函数且存在，则2、若为偶函数，则为奇函数；若为奇函数，则为偶函数；3、可导周期函数的导函数为周期函数。特别：设以为周期且存在，则。4、若f(x+T)=f(x),且，则仍为以T为周期的周期函数.5、设是以为周期的连续函数，则，6、若为奇函数，则；若为偶函数，则7、设在内连续且存在，则在内有界。2、极限(1)数列的极限：(2)函数在一点的极限的定义：(3)单侧极限:1)左右极限2)极限存在的充要条件：(4)极限存在的准则1)夹逼定理：数列情形，函数情形2)单调有界数列必有极限(5)极限的基本性质：唯一性，保号性，四则运算*1）极限不等式注：不成立2）局部保号性则在某内3）

4、局部有界性则在某内有界。4）(6)两类重要极限(7)无穷小量与无穷大量1)无穷小量;2)无穷大量;（注意与无界变量的差异）3)无穷小量与无穷大量的关系(8)无穷小量阶的比较(9)罗比达法则3、连续1)连续的定义2)区间上的连续函数3)间断点及其分类4)闭区间上连续函数的性质：有界性定理、最值定理、介值定理、零点定理三、*重要公式与结论1、常见极限不存在的情形：1)方法：用无穷小量乘有界变量2）方法：分或讨论.2、特别：若3、无穷小量的等价代换若，则有特别注意：（，（），（），设，且～，～(1)(2)(3)(4)若，则（0712）当时，与等价的无穷小量是（A）（B）（C）（D）4、若由此有

5、5、极限的形式与关系（1）（2）（3），6、若，则(i)(ii)若，则(i)(ii)7、设在处连续，则（1）（2）（3）（4）不存在四、典型题型与例题题型一、函数的概念和性质例1、设，则=（A）0（B）1（C）（D）例2、对下列函数（1）（2）（3）在（0，1）内有界的有（）个（A）0（B）1（C）2（D）3例3、（0434）函数在下列哪个区间内有界（A）（-1，0）（B）（0，1）（C）（1，2）（D）（2，3）例4、（0534）以下四个命题中正确的是（）（A）若在（0，1）内连续，则在（0，1）内有界（B）若在（0，1）内连续，则在（0，1）内有界（C）若在（0，1）内有界，则在（0

6、，1）内有界（D）若在（0，1）内有界，则在（0，1）内有界例5、（051、2）设是连续函数的一个原函数，则必有（A）是偶函数是奇函数（B）是奇函数是偶函数（C）是周期函数是周期函数（D）是单调函数是单调函数题型二、极限的概念和性质例6、当时，是（A）无穷小（B）无穷大（C）有界的但不是无穷小（D）无界的但不是无穷大例7、设对，总有，且，则（A）存在且等于0（B）存在但一定不为0（C）一定不存在（D）不一定存在例8、已知在处连续，且，求题型三、求函数的极限基本思路：1、先化简（1）约掉零因子（无穷因子）（2）提出极限不为零的因子（3）根式有理化（4）无穷小替换（5）变量替换（尤其是倒代换

7、）2、再用洛必达法则或其它求极限的方法3、上述步骤可重复进行1、常规方法：1)运算法则，2)无穷小量等价代换，3）洛必塔法则1）用运算法则应注意的问题例9、求极限例10、求极限罗毕达法则1、或型1、先化简2、用洛必达法则、四则运算法则、泰勒公式3、综合题（结合导数的定义等）例11、求例12、求极限例13、（042）求极限例14、（0734）=罗毕达法则2、型型未定式有两种处理方法或例15、求例16、例17、（101）极限(A)1.(