数学归纳法技巧.doc

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1、§13数学归纳法数学归纳法是用于证明与正整数有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．在数学竞赛中占有很重要的地位．1．数学归纳法的基本形式（1）第一数学归纳法设是一个与正整数有关的命题，如果①当（）时，成立；②假设成立，由此推得时，也成立，那么，根据①②对一切正整数时，成立．（2）第二数学归纳法设是一个与正整数有关的命题，如果①当（）时，成立；②假设成立，由此推得时，也成立，那么，根据①②对一切正整数时，成立．2．数学归纳法的其他形式（1）跳跃数学归纳法①当时，成立，②假设时成立，由此推得时，也成立，那么，根据①②对一切正整数时，成立．（2）反向数学归纳法设是一个与正整数有关

2、的命题，如果①对无限多个正整数成立；②假设时，命题成立，则当时命题也成立，那么根据①②对一切正整数时，成立．3．应用数学归纳法的技巧（1）起点前移：有些命题对一切大于等于1的正整数正整数都成立，但命题本身对也成立，而且验证起来比验证时容易，因此用验证成立代替验证，同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以．因而为了便于起步，有意前移起点．（2）起点增多：有些命题在由向跨进时，需要经其他特殊情形作为基础，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点．（3）加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多．（4）选择合适的假

3、设方式：归纳假设为一定要拘泥于“假设时命题成立”不可，需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式，灵活选择使用．（5）变换命题：有些命题在用数学归纳证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明．5．归纳、猜想和证明在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这种不严格的推理方法称为不完全归纳法．不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否，必须进一步检验或证明，经常采用数学归纳法证明．不完全归纳法是发现规律、解决问题极好的方法．数学归纳法的变着2．（1）验

4、证（2）假设成立，并在此基础上，推出成立，综合（1）（2）对一切自然数,命题都成立；所以，综上可得原命题成立；8个正方形7个正方形6个正方形3．（倒推归纳法）（1）对于无穷多个自然数命题成立；（2）假设成立，并在此基础上推出成立，综合（1）（2），对一切自然数,命题都成立；4．（螺旋式归纳法）为两个与自然数有关的命题，假如（1）成立；（2）假设成立，能推出成立，假设成立，能推出成立；综合（1）（2）,对于一切自然数，都成立；7．加强型变型：