数学归纳法证题步骤与技巧实战篇

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1、数学归纳法证题步骤与技巧在数学问题中，有一类问题是与自然数有关的命题。自然数有无限多个，不可能就所有自然数—一加以验证，所以用完全归纳法是不可能的。但就部分自然数进行验证即用不完全归纳法得到的结论，又是不可靠的。这就需要寻求证明这一类命题的一种切实可行而又满足逻辑严谨性要求的新方法——数学归纳法。1.数学归纳法的范围数学归纳法是以自然数的归纳公理做为它的理论基础的。因此，数学归纳法的适用范围仅限于与自然数有关的命题。它能帮助我们判断种种与自然数n有关的猜想的正确性。2.数学归纳法两个步骤的关系第一步是递推的基础，第二步是递推的根据，两个步骤缺一不可，有第

2、一步无第二表，属于不完全归纳法，论断的普遍性是不可靠的；有第二步无第一步中，则第二步中的假设就失去了基础。只有把第一步结论与第二步结论联系在一起，才可以断定命题对所有的自然数n都成立。3.第二数学归纳法第二数学归纳法的证明步骤是：证明当n=1时命题是正确的；②k为任意自然数，假设n＜k时命题都是正确的，如果我们能推出n=时命题也正确，就可以肯定该命题对一切自然数都正确。数学归纳法和第二归纳法是两个等价的归纳法，我们把数学归纳法也叫做第一归纳法。有些命题用第一归纳法证明不大方便，可以用第二归纳法证明。4.数学归纳法的原理数学归纳法证明的是与自然数有关的命题

3、，它的依据是皮亚诺提出的自然数的序数理论，就是通常所说的自然数的皮亚诺公理，内容是：（1）l是自然数。（2）每个自然数a有一个确定的“直接后继”数a’，a也是自然数。（2）a’≠1，即1不是任何自然数的“直接后继”数。（4）由a’=b’，推得a=b，即每个自然数只能是另外的唯一自然的“直接后继”数。（5）任一自然数的集合，如果包含1，并且假设包含a，也一定包含a的“直接后继”数a’，则这个集合包含所有的自然数。皮亚诺公理中的（5）是数学归纳法的依据，又叫归纳公理数学归纳法的应用及举例。2k+1k+2因为由假设知4+3能被13整除，13·42k+1也能被1

4、3整除，这就是说，当n=k＋1时，f（k＋l）能被13整除。根据（1）、（2），可知命题对任何n∈N都成立。下面按归纳步中归纳假设的形式向读者介绍数学归纳法的几种不同形式以及它们的应用。（l）简单归纳法。即在归纳步中，归纳假设为“n=k时待证命题成立”。这是最常用的一种归纳法，称为简单归纳法，大家都比较熟悉，这里不再赘述。（2）强归纳法。这种数学归纳法，在归纳步中，其归纳假设为“n≥k时待证命题成立”。我们称之为强归纳法，又叫串值归纳法。通常，如果在证明p（n＋l）成立时，不仅依赖于p（n）成立，而且还可能依赖于以前各步时，一般应选用强归纳法，下面举例说

5、明其应用。例有数目相等的两堆棋子，两人轮流从任一堆里取几项棋子，但不能不取也不能同时从两堆里取，规定凡取得最后一项者胜。求证后者必胜。证：归纳元n为每堆棋子的数目。设甲为先取者，乙为后取者。奠基n=l，易证乙必胜。归纳设Nn≤k时,乙必胜。现证n=k＋l时也是乙必胜。设甲在某堆中先取r颗，O＜r≤k。乙的对策是在另一堆中也取r颗。有二种可能：（1）若r＜k，经过两人各取一次之后，两堆都只有k-r颗，k-r＜k，现在又轮到甲先取，依归纳假设，乙必胜。（2）若r=k，显然是乙胜，证毕。上述形式的归纳法虽然比较简单，但如使用不当，往往会发生错误，有两点应注意：

6、第一，在使用归纳假设时防止无形中引入不相干的假设。第二，在证明过程中应注意数学规律的正确性。下面我们引入一个反例，在这个反例中，由于错误的证明导致证得了错误的待证命题。反倒：证明任意n条直线均能重合成一条直线。下面给出错误的证明：证：奠基n=1时该命题成立。归纳利用强归纳法，可以有如下的归纳假设：任意1条，2条，3条，…，k条直线均重合成一条直线，要证k+1条直线也重合成一条直线，设这k+1条直线为l、l、…，l,l由强归纳假设得l，…，l…重合为一条直线，12kk+11k记为l。又由强归纳假设得l和lk+1重合为一条直线，于是任意n条直线便重合一条直线

7、了。细心的读者也许已经发现这里的错误了，这是由于错误地使用了强归纳假设而造成的。具体地说，这是在“l和lk+1这两条直线重合为一条直线”这一点把强归纳假设使用错了。强归纳假设中并没有包含这一条件，因为我们这里奠的基是n=l，因此待证命题“k+1条直线重合为一条直线”要求对于一切大于等于1的k成立，而上面证明中所假设的l和lk+1重合为一条直线实际上是要求k≥2，这就是错误的所在。（3）参变归纳法。在待证命题中含有参数的时候，例如P（u，n），则用数学归纳法证明P（u，n）对一切n成立时，在奠基步中，应证P（u，0）对一切u成立。在归纳步中，假设P（u，k

8、）对一切u成立，证明P（u，k+1）对一切u成立。这里，“P（u，k）”对一切u