分子点群与群论初步.ppt

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1、第5章分子点群与群论初步5.1.1群的定义由有限个或无限个元素组成一个集合G，若G能满足下列四个条件，它就是一个群。(1)封闭性：集合G中任意两个元素A、B用规定的运算所得出的组合AB(或称为A与B的乘积)也必须是G中的一个元素，即若则必须有注意：这里A与B也可以是同一个元素。所谓规定的运算可以是相乘、相加或其它的一种运算。这种运算不一定是可对易的。群中的元素可以是数字，也可以是矩阵、对称操作、置换等等。5.1群的概念(2)结合律：三个元素组合时，其结果与组合的顺序无关，即(AB)C=A(BC)(3)恒等元素：G中必须有一个元素E，它与G中任

2、何一个元素A的组合等于A，即E称为恒等元素或单位元素。(4)逆元素：在G中，对于任何一个元素A，必须有它的逆元素A1，A1也是G中的一个元素，它满足下列式子举例(1)由0和所有的正、负整数组成的集合，对于普通的初等代数加法而言，是一个群。其中0是恒等元素，任何正数n的逆元素是n。(2)除0以外的全体实数，对于普通的初等代数乘法而言，组成一个群。单位元素是1。(3)立正、向后转、向左转和向右转，对于连续进行两个动作而言，组成一个群。其中立正为恒等元素。(4)三个对称操作组成一个群。E是群中的单位元素，和互为逆元素。(5)下列四个矩阵组成一

3、个群其中第一个矩阵是单位元素，每个矩阵的逆元素就是它本身。若一个群中元素的个数是有限的，则称它为有限群，其中所含元素的个数称为该群的阶，常用h表示。包含无穷多个元素的群称为无限群。若群中的任意两个元素A和B是可对易的，即AB=BA，则该群称为对易群或Abel群。5.1.2子群、相似变换、共轭元素和类子群：如果在群G之中的一部分元素的集合也是一个群，那么后者就称为前者的子群。即若而G中一部分元素的集合也构成群时，H叫做G的子群，并表示为例如，在C3v群中有六个元素其中三个元素构成一个群(C3群)，E与任意一个v也构成一个群(Cs群)，这些群都

4、是C3v群的子群。此外单位元素E总是单独地构成一个一阶子群。可以证明，群的阶数总能被它的任何子群的阶数整除。共轭、类设群G为若其中三个元素A、B、X之间存在着如下的关系或则称A与B共轭共轭元素具有以下性质(1)每个元素与其自身共轭，即若在G中任选一个元素A，则至少能在G中找到一个元素Y，使成立(2)若A与B共轭，则B必定与A共轭，即若成立，则也成立(3)若A与B共轭，B与C共轭，则A与C共轭在一个群中，相互共轭的元素的一个完整集合称为一个共轭类或简称为类若群中有一个元素A，设X为群中的任意一个元素，则是A的同类元素。将X取遍群中所有的元素，即

5、可得出与A为同一类的所有元素。例如：C3v群元素中，为一类，为一类，为一类。推论(1)群中两个不同的类不能包含任何共同的元素(2)若A，B，C，···是同一类中的元素，且An=E，则这里n称为A，B，C等元素的周期。(3)在任何一个群中，单位元素E总是单独构成一类(4)在对易群中，每一个元素都单独构成一类注意类和子群是两个不同的概念。一个类中的元素通常并不构成一个群(E单独构成的类除外)。这是因为它们之中通常不包含单位元素E，故不符合群的条件。而子群本身是一个群，而且不同的子群必定都包含一个共同的元素E。同构与同态设有两个具有相同的阶的群G和

6、G它们的元素之间一一对应，并有相同的乘法表(即若Ai与Bi对应，Ak与Bk对应，则AiAk与BiBk对应)，我们称G和G同构。(i,k=1,2,···,m)注意：两个群同构，它们不一定是同一种群。例如，一个点群可以和一个矩阵群同构。例：右边三个群同构两个不同阶的群不能成为同构群，但有可能成为同态群。设有两个群G和G，G的阶大于G的阶。若G中任一元素都和G中几个元素相对应，并且有下列性质若则表示中的任何一个表示中的任何一个这样就称G和G同态。直接乘积有两个群如果它们的元素彼此相乘的意义是明确的，并且还满足下列条件即G1中的任一元素和

7、G2中的任一元素互相对易，则可定义一个更大的群G，称G为G1和G2的直接乘积，表示为G中包含G1和G2中所有元素以及所有的AiBj。显然，按照子群的定义，G1和G2都是G的子群。5.1.3群的乘法表若一个有限群的阶为h，群的乘法表由h行和h列所组成，每一列和每一行用一个群元素标明。表中所列出的每个元素都是它所在的行和列的领头元素的组合(乘积)。由于交换律往往不满足，习惯上规定把列元素放在前面，把行元素放在后面，即在标有x的列和标有y的行的交叉点上找到的元素是xy的乘积。乘法表的重排定理：在群的乘法表的每一行或每一列，每个元素都出现一次而且只能

8、出现一次。举例二阶群G2三阶群G3四阶群G4C3v群的乘法表C3v：对称性体系包含若干等同部分，这些部分相对(对等，对应)而相称(适合，相当)，这些部分能经过不改变