活跃在竞赛中的几何计数问题.pdf

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1、第9期卢国兴：活跃在竞赛中的几何计数问题·4l·活跃在竞赛中的几何计数问题●卢国兴(桐庐中学浙江桐庐3115oo)几何计数问题主要是指与几何有关的计数问条线段，在这些线段中，求相互成异面直线的“线题，由于该类问题往往蕴含着“形”的美妙与“数”段对”的个数．的严谨，因此倍受竞赛命题者的青睐解任取一条中位线AB，AB所在的侧面没有几何计数问题的内容比较别致，富于变化．如与AB异面的线段；含点A的另一个侧面恰有一条果自己不能理清思路，寻找到一种合适的解法，就中位线与AB异面；含点B的另一个侧面也恰有一很难得到正确的答案．以下笔

2、者结合一些数学竞赛条中位线与AB异面；不含点A，B的侧面恰有2条试题，介绍几种典型的解法．中位线与AB异面；因此与AB异面的中位线共有41直接分类枚举．条，即含有线段AB的异面“线段对”共有4个，于当对于原问题中的各种情形一时无法统一处是得到异面“线段对”共有12×4=48个(其中有理，并且注意到结论不是很庞大的数字时，不妨采重复)．用分类枚举法．“直接分类枚举”是一种最简单、最但每一个异面“线段对”中有2条线段，故恰基本的计数方法．好被计算了2次，因此，得到48÷2=24个异面“线例1联结正五边形段对”．A。AA3AA

3、的对角线交出另在直接分类枚举时，必须注意无一重复、无一一个正五边形12345，A遗漏，要有规律地进行．再次联结正五边形2运用2个原理曰1B23B5的对角线，又交分类计数原理与分步计数原理是解决组合计出一个正五边形数问题的2种基本思想方法，是解决计数问题的基C1C2C3CC5(如图1)，以图础．合理运用2个原理可以顺利解决一些简单的几图1中线段为边的三角形中，共何计数问题．有等腰三角形例3在一个正六边形的A．5O个B．75个C．85个D．100个6个区域中栽种观赏植物(如(2005年全国高中数学联赛江西省初赛试题)图2)，

4、要求在同一个区域中种解以A为2条腰公共点的等腰三角形有6同一种植物，相邻的2个区域个：AA12A5，△1B34，△A1B25，△A1A34，种不同的植物．现有4种不同AA1A25，△A1A5B2；的植物可供选择，则有——种栽种方法．图2以B为2条腰公共点的等腰三角形有9个：AB1A3A4，AB1B2B5，△日lB3B4，AB1C3C4，(2001年全国高中数学联赛试题)AB1B2C5，ABlC2B5，ABlA2A5，△134，解将6个区域依次标上字母A，，C，D，E，ABlA4B3；F，按A，C，种植植物的种数进行讨论：

5、以C为2条腰公共点的等腰三角形有2个：(1)若A，C，E种同一种植物，有4种种法．当△C13B3，△C125．A，C，E种植后，，D，F可从剩余的3种植物中各由于图1中没有等边三角形，故每个等腰三角选一种植物(允许重复)，各有3种方法．此时共有形的2条腰恰有一个公共顶点．因此，由对称性可4X3×3×3=108种种植方法．知共有等腰三角形5×(6+9+2)=85个．(2)若A，c，种2种植物，有A种种法．当例2作正四面体每个面的中位线，共得12A，C，E种好后，若A，C种同一种，则B有3种方·42·中学教研(数学)法，D，

6、F各有2种方法；若C，E或E，A种同一种，同解将原问题一般化，考虑正2边形AA⋯理可得．因此，共有AX3(3×2×2)=432种方法．A：的对角线共有ci-2n=n(2n一3)条．计算-9一(3)若A，c，E种3种植物，有Ai种法．这时边AA平行的对角线条数，因AA：∥A+A+，与B，D，F各有2种种植方法，共有A；×2X2X2=AA平行的对角线的端点只能取自2n一4个点，192种方法．而平行线共凡一2条，故与某一边平行的对角线共根据分类计数原理，共有N=108+432+n(17,一2)条．由此可得与任何边都不平行的对角

7、线192=732种栽种方案．共有凡(2n一3)一n(n一2)=n(一1)条．故选c．评注事实上本题是一个环形排列问题，可作例6平面上有5个点，任意两点之间用线段如下推广：已知P是凡(n≥3)边形内的一点，它与连接，这些线段互不平行，互不垂直，也不重合，过n个点相连构成n个三角形，取k(k≥2)种颜色对其中每个点，都向其他4个点间的线段作垂线，所这，1个三角形涂色，要求相邻2个三角形所涂颜色有这些垂线的交点至多有多少个?不同，试求涂色的方案有多(第6届IMO试题)少种?解在5个点中，4个点之间连接的线段有例4如图3，点P，

8、C=6条，过余下一点可作6条垂线，5个点共可作P，⋯，P。分别是四面体的30条垂线，每2条垂线可以确定一个交点，有ck=顶点或棱的中点，那么在同435个交点．其中，有些垂线并不相交，即有些交点一平面上的四点组(P，P，不存在，而有些交点被重复计算过．对5个给定的图3Pi，P(1