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1、浅析换元法在数学解题中的妙用投稿邮籀:sxjk@vip,163corn数学教学通讯(教师版)试题研究>解题技巧浅析换元法在数学解题中的妙用刘志彬河北邢台学院初等教育学院054001换元法是一种非常重要而乂巧妙的解题方法.在中学数学中，有相当多的问题可以用换元法来解决.正确使用换元法.能够使一些问题化繁为简，化难为易,从而提高学生解决问题的能力，它是一种行之有效的解题方法.那么.如何运用换元法解题呢?这就要求我们首先了解换元法的原理.熟练掌握换元的规律，学会用不同的方法换元.本文就数学中五种主要换元题型作以下阐述.j三角代换,把代数问题转化为三角问
2、题1.求函数的值域例1求函数,/一1+2X〃2'X-X的值域.解锄一丢一47〜sin,则,/sin+2c.s.(以下从略)2.证明条件不等式有些条件不等式，直接证明较繁杂，有时甚至很困难.如果应用三角代换证明.就显得较方便.例2已知W1,求证:一,/2W2+),—W,/2.证明令x=tcosO,y=tsinO,OWtWI,则X2+y—=t2c0S20+2t2cosOsinO一tsinE0=tcos20一sin+2sincos)=£(cos20+sin20)=in(詈.眦有一W.3.求函数的最值有些求函数的最值问题也可以用三角代换方法来解决.例3若+2=
3、(Jj}>0),求的最值.解把,,，视为满足半径为V百的圆周上的点，设二V百.cosO,y=,/sinO(一lr<WIT),则=V(cosO+sinO)=,/?sin(号柏j,显然()_1=一,/,(),/.代数代换,把三角问题转化为代数问题倒4已知sin+c.s二〜一4=-，且仁(0,2w),求tan解因为sina,_8c.8成等差数列，设公差为d,则sin一导一jd,cosa=-83+cos,可得3一■3-1.3VV(以下略)例5已知IIUR,求函数y=(sim)(a-cosx)的最小值.解观察到等式右边是关-〜sinx,cosx〜si
4、nx+cosx〜三角式，n〜t=sinx+cosx.则原P-I题可转化为二次函数在闭区间上的最值问题.设仁si・・・.sin)'fU[一,sin〜cosx二f2[(si+c.)一l]=l(f2一1),于是(0=—n(si眦+c.)眦c.二卅｛(f2_)=+N.原问题化归为求二次函数厂()=+a2_l2t[一，,/I]L的最值19题f以下略)复数换元1.用复数的模求函数的最值例6求函数,/+,/T60的最小值.解4”z・+i,:=(12)+4i,则y=lz.l+12L再利用复数不等式lz.I+11习..:1即可求出.2.用复数的辐角主值求反三角函数值()
5、51献b，现刖想。引这握髀掌瑚问式巩学达显题数表的决的维()解量思圈嗣冒试题研究>解题技巧数学教学通讯(教师版)投稿邮箱:sxjk@vip163.corn例7求arctan+arctan1+arctan2的值.2解l=2+i,zz=l+i,z3=l+2i,其辐角主值分别是()1,02,03,于是Arg[(2+i)(1+i)(1+2i)]:Arg(_5+5i)=孚.均值换元例8若l+2(X,y,ZE),求证:N詈-解4小=詈，詈詈一()，其中旦3为II的均值,，卢，一0为调整常数，则2+y詈2+(d)N等(0时取等号):部分换元例9在复数集内解方程
6、(2x+7)4+(+3)4=82解4"-y=2x+5.则原方程化简为(y+2)4+(y-2)%8Z整理得(25)(产1)=0,从而得解.倒10若关于的方程lg嚣+1+1S羞:0有模为1的虚根，求实数•的值及方•程的根.解4-1g,则原方程化为2+3执+£2-£-0.由于方程有虚根，所以△二(3).—8(t2_t)<0.所以一8<f<0.其根为:一-3t〜一4而1=1,所以tl=-1或£2=2(舍去】.,1£3土,/7il±x/101/八哪二.0=・410从以上五个方面,我们不难发现，换元法是一种融巧妙和实用于一体的好的数学方法.掌握这
7、种思想和方法可以把一些繁难问题变得简单明晰.从而实现化难为易的目的，是一种创造性思维的显现.对于启迪学生思维，提高解题能力大有益处.(上接第41页)解法3(高数矩阵法)递归方程％。.+%。可变形为fl-(一0,〜1/)假二tXn+2)=(五)，脯并且,J(),得到，其中A_尸1,v/51,/51+,/501一,/51f了2,/51+,/52,v/5以:A:,/T[(052.且.于是A=P1+,/51+,/51O(孚(厂(2/(卜()(heN*.1—,/501—V5解法4(母函数法)今_厂().++2+・・・++..-=Z：—,其中IxJ<l,①.
8、〜ll-xf(x)=一日1一022-.n3L吐一?(2)):一.lxZ・a,2c一0>3
