2020_2021学年高中数学第1章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象学案新人教A版必修4.doc

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1、1.4.3　正切函数的性质与图象学习目标核心素养1.能画出正切函数的图象．(重点)2.掌握正切函数的性质．(重点、难点)3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线．(易混点)1.通过观察正切函数的图象获得正切函数性质的直观认识，提升学生直观想象素养.2.通过对正切函数性质的应用，提升学生数学运算素养.正切函数的图象与性质解析式y＝tanx图象定义域值域R周期π奇偶性奇函数对称中心，k∈Z单调性在开区间，k∈Z内都是增函数思考：正切函数图象的对称中心都在正切函数图象上吗？[提示]　不是，在中，当k为偶数时，在函数图象上，当k为奇数时，不在函数图象上．1．函数f(x)＝ta

2、n的单调增区间为(　　)A.，k∈ZB.，k∈ZC.，k∈Z-10-D.，k∈ZC　[令kπ－＜x＋＜kπ＋(k∈Z)得kπ－＜x＜kπ＋(k∈Z)，故单调增区间为(k∈Z)．]2．函数y＝tan的定义域为．　[因为2x－≠kπ＋，k∈Z，所以x≠＋，k∈Z，所以函数y＝tan的定义域为.]3．函数y＝tan3x的最小正周期是．　[函数y＝tan3x的最小正周期是.]4．函数y＝tan的对称中心是．(k∈Z)　[令x－＝(k∈Z)得x＝＋(k∈Z)，∴对称中心为(k∈Z)．]有关正切函数的定义域、值域问题【例1】　(1)函数y＝的值域是(　　)A．(－1,1)　　　　B

3、．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－∞，1)D．(－1，＋∞)(2)求下列函数的定义域：①y＝；②y＝lg(－tanx)．思路点拨：(1)→-10-(2)①中注意分母不为零且y＝tanx本身的定义域；②中注意对数大于零⇒从而得到定义域．(1)B　[当－＜x＜0时，－1＜tanx＜0，∴＜－1；当0＜x＜时，0＜tanx＜1，∴＞1.即当x∈∪时，函数y＝的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．](2)[解]　①要使函数y＝有意义，需使所以函数的定义域为.②因为－tanx＞0，所以tanx＜.又因为tanx＝时，x＝＋kπ(k∈Z)，根据正切函数图象，得kπ－＜x＜kπ＋

4、(k∈Z)，所以函数的定义域是.1．求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tanx有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.(2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.2．解形如tanx＞a的不等式的步骤-10-提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件．1．求函数y＝＋lg(1－tanx)的定义域．[解]　要使函数y＝＋lg(1－tanx)有意义，则即－1≤tanx＜1.当x∈上满足上述不等式的x的取值范围

5、是.又因为y＝tanx的周期为π，所以所求x的定义域为.正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性【例2】　(1)函数f(x)＝tan的周期为．(2)已知函数y＝tan，则该函数图象的对称中心坐标为．(3)判断下列函数的奇偶性：①y＝3xtan2x－2x4；②y＝cos＋tanx.思路点拨：(1)形如y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的周期T＝，也可以用定义法求周期．(2)形如y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的对称中心横坐标可由ωx＋φ＝，k∈Z求出．(3)先求定义域，看是否关于原点对称，若对称再判断f(－x)与f(x)的关系．(1)　(2)(k∈Z)　[(1)法一：(

6、定义法)∵tan＝tan，即tan＝tan，∴f(x)＝tan的周期是.法二：(公式法)f(x)＝tan的周期T＝.(2)由x－＝(k∈Z)得x＝＋(k∈Z)，所以图象的对称中心坐标为-10-，k∈Z.](3)[解]　①定义域为，关于原点对称，又f(－x)＝3(－x)tan2(－x)－2(－x)4＝3xtan2x－2x4＝f(x)，所以它是偶函数．②定义域为，关于原点对称，y＝cos＋tanx＝sinx＋tanx，又f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sinx－tanx＝－f(x)，所以它是奇函数．1．函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法．(1)定

7、义法．(2)公式法：对于函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝.(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现．2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法．先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．提醒：y＝tanx，x≠kπ＋(k∈Z)的对称中心坐标为，k∈Z.2．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝；(2)f(x)＝tan＋tan.[解]　(1)由得f(x)的定义域为，不关于原点对称，所以函数f(x