奥林匹克训练题库·约数与最大公约数

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1、约数与最大公约数137、12345678987654321的除本身之外的最大约数是多少？138将一个两位数的十位数字减去或加上它的个位数字，所得到的两个数都是78的大于1的约数。求这个两位数。139有一个自然数，它的最小的两个约数之和是4，最大的两个约数之和是100，求这个自然数。140有一个自然数，它的最大的两个约数之和是123，求这个自然数。141求只有8个约数但不大于30的所有自然数。142给出一个自然数n，n的所有约数的个数用T(n)表示。(1)求T(42)；(2)求满足T(n)=8的最小自然数n；(3)如果T(n)=2，那么n是怎样的数？143在1～100中，

2、所有的只有3个约数的自然数的和是多少？144如果自然数a和b各自恰好都有5个不同的约数，那么a×b能否恰好有10个不同的约数？145☆少年宫游乐厅内悬挂着200个彩色灯泡，这些灯泡或明或暗，十分有趣。这200个灯泡按1～200编号，它们的亮暗规则是：　　第一秒，全部灯泡变亮；　　第二秒，凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；　　第三秒，凡编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的变亮；　　一般地，第n秒凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态。　　这样继续下去，每4分钟一个周期。问：第200秒时，明亮的灯泡有多少个？146100以内约数个数最多的自然数有五个，它

3、们分别是几？147一个学生做两个两位数乘法时，把其中的一个乘数的个位数字9误看成7，得出的乘积是756。问：正确的乘积是多少？148给出一个自然数n，n的所有约数的和用S(n)表示，求S(24)和S(36)。149☆对于任意的大于2的自然数n，所有小于n且与n互质的自然数的个数是奇数还是偶数，还是不能肯定？150一个数如果等于除它本身以外的所有约数之和，则称此数为完全数。已知30以内有两个完全数，请将它们找出来。151某商店把几十个单价原为0.2元的转笔刀降价后全部售出，共卖得2.53元。问：降价后单价多少元？152有一瓶440毫升的酒和容量不同的甲、乙两种酒杯。如果将

4、酒倒入甲种杯，则倒满若干杯后，还剩35毫升酒(不足一杯)；如果将酒倒入乙种杯，则倒满若干杯后也剩35毫升酒(不足一杯)。已知甲、乙两种酒杯的容量都不超过100毫升，求甲、乙酒杯的容量。153把21，26，65，99，10，35，18，77分成若干组，要求每组中任意两个数都互质，至少要分成几组？如何分？154a，b两数的最大公约数是12，已知a有8个约数，b有9个约数，求a和b。155用1～9这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公约数。156用1－7这七个数码组成两个三位数和一个一位数，要求三个数中任意两个都互质。已知其中一个数为714，求

5、另两个数。157现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数最大可以到多少？158100个正整数之和为6666，它们的最大公约数的最大可能值是多少？159A，B是两个奇数，它们的最大公约数是3，求(A＋B)和(A－B)的最大公约数。160甲、乙两数的最大公约数是37，两数的和是444，这样的自然数有哪几组？161有一个大于1的自然数，用它除498，447和379得到相同的余数，求这个自然数。162两个小于150的数的积是2028，它们的最大公约数是13，求这两个数。163写出三个小于20的自然数，使它们的最大公约数是1，但两两均不互质。164试用2，3，

6、4，5，6，7六个数码组成两个三位数，使这两个三位数与540的最大公约数尽可能大。1651～8八个数字，按右图所示的次序排成一个圆圈，请你在某两个数字之间沿直径剪开，这时按顺时针次序形成两个四位数(例如，在1和5之间剪开，得到的两个数是5483和6721)。如果要使剪开后所得到的两个数的最大公约数最大，那么应从何处剪开？最大公约数是几？　　166有一个长方形棋盘，每个小方格的边长都是1，长有200格，宽有120格(如下图)。纵横线交叉的点称为格点，连结A，B两点的线段共经过多少个格点(包括A，B两点)？　　167在右图中，以O为一个端点，以A，B，C，D，E，F，G，H

7、为另一个端点，共可以连出8条线段。在这8条线段中，不经过图中任何一个格点的有几条？　　168有三根钢管，分别长200，240和360厘米。现在要把这三根钢管截成尽可能长而且又相等的小段，一共能截成多少段？169两根铁丝分别长65米和91米，用一根木尺分别去丈量它们，都恰好量完而无剩余。这根木尺最多有多长？170有三根铁丝，分别长300厘米、444厘米、516厘米。把它们截成同样长且尽可能长的整厘米小段(不许剩余)，每小段折成一个小正方形。然后将这些小正方形混放在一起拼成一个长方形(每拼一次都必须全部用上这些小正方形)，这样可能拼成的长方形