奥林匹克训练题库·约数与最大公约数

奥林匹克训练题库·约数与最大公约数

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1、约数与最大公约数  13712345678987654321的除本身之外的最大约数是多少?  138将一个两位数的十位数字减去或加上它的个位数字,所得到的两个数都是78的大于1的约数。求这个两位数。  139有一个自然数,它的最小的两个约数之和是4,最大的两个约数之和是100,求这个自然数。  140有一个自然数,它的最大的两个约数之和是123,求这个自然数。  141求只有8个约数但不大于30的所有自然数。  142给出一个自然数n,n的所有约数的个数用T(n)表示。(1)求T(42);(2)求满足T(n)=8的最小自然数n;

2、(3)如果T(n)=2,那么n是怎样的数?  143在1~100中,所有的只有3个约数的自然数的和是多少?  144如果自然数a和b各自恰好都有5个不同的约数,那么a×b能否恰好有10个不同的约数?  145☆少年宫游乐厅内悬挂着彩色灯泡,这些灯泡或明或暗,十分有趣。这灯泡按1~号,它们的亮暗规则是:  第一秒,全部灯泡变亮;  第二秒,凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗;  第三秒,凡编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态,即亮的变暗,暗的变亮;  一般地,第n秒凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态。  这样继续下去,每4分钟

3、一个周期。问:第时,明亮的灯泡有多少个?  146100以内约数个数最多的自然数有五个,它们分别是几?  147一个学生做两个两位数乘法时,把其中的一个乘数的个位数字9误看成7,得出的乘积是756。问:正确的乘积是多少?  148给出一个自然数n,n的所有约数的和用S(n)表示,求S(24)和S(36)。  149☆对于任意的大于2的自然数n,所有小于n且与n互质的自然数的个数是奇数还是偶数,还是不能肯定?  150一个数如果等于除它本身以外的所有约数之和,则称此数为完全数。已知30以内有两个完全数,请将它们找出来。  151某

4、商店把几十个单价原为0.2元的转笔刀降价后全部售出,共卖得2.53元。问:降价后单价多少元?  152有一瓶440毫升的酒和容量不同的甲、乙两种酒杯。如果将酒倒入甲种杯,则倒满若干杯后,还剩35毫升酒(不足一杯);如果将酒倒入乙种杯,则倒满若干杯后也剩35毫升酒(不足一杯)。已知甲、乙两种酒杯的容量都不超过100毫升,求甲、乙酒杯的容量。  153把21,26,65,99,10,35,18,77分成若干组,要求每组中任意两个数都互质,至少要分成几组?如何分?  154a,b两数的最大公约数是12,已知a有8个约数,b有9个约数,

5、求a和b。  155用1~9这九个数码可以组成362880个没有重复数字的九位数,求这些数的最大公约数。  156用1-7这七个数码组成两个三位数和一个一位数,要求三个数中任意两个都互质。已知其中一个数为714,求另两个数。  157现有三个自然数,它们的和是1111,这样的三个自然数的公约数最大可以到多少?  158100个正整数之和为6666,它们的最大公约数的最大可能值是多少?  159A,B是两个奇数,它们的最大公约数是3,求(A+B)和(A-B)的最大公约数。  160甲、乙两数的最大公约数是37,两数的和是444,这

6、样的自然数有哪几组?  161有一个大于1的自然数,用它除498,447和379得到相同的余数,求这个自然数。  162两个小于150的数的积是,它们的最大公约数是13,求这两个数。  163写出三个小于然数,使它们的最大公约数是1,但两两均不互质。  164试用2,3,4,5,6,7六个数码组成两个三位数,使这两个三位数与540的最大公约数尽可能大。  1651~8八个数字,按右图所示的次序排成一个圆圈,请你在某两个数字之间沿直径剪开,这时按顺时针次序形成两个四位数(例如,在1和5之间剪开,得到的两个数是5483和6721)。

7、如果要使剪开后所得到的两个数的最大公约数最大,那么应从何处剪开?最大公约数是几?    166有一个长方形棋盘,每个小方格的边长都是1,长有,宽有1如下图)。纵横线交叉的点称为格点,连结A,B两点的线段共经过多少个格点(包括A,B两点)?    167在右图中,以O为一个端点,以A,B,C,D,E,F,G,H为另一个端点,共可以连出8条线段。在这8条线段中,不经过图中任何一个格点的有几条?    168有三根钢管,分别长240和360厘米。现在要把这三根钢管截成尽可能长而且又相等的小段,一共能截成多少段?  169两根铁丝分别长

8、65米和91米,用一根木尺分别去丈量它们,都恰好量完而无剩余。这根木尺最多有多长?  170有三根铁丝,分别长300厘米、444厘米、516厘米。把它们截成同样长且尽可能长的整厘米小段(不许剩余),每小段折成一个小正方形。然后将这些小正方形混放在一起拼成一个长方

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