非线性等式约束优化问题的仿射信赖域方法.pdf

《非线性等式约束优化问题的仿射信赖域方法.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、数学年刊2013，34A(4)：499—512非线性等式约束优化问题的仿射信赖域方法冰张勇朱德通提要提出非线性等式和有界约束优化问题的结合非单调技术的仿射信赖域方法．结合信赖域方法和内点回代线搜索技术，每一步迭代转到由一般信赖域子问题产生的回代步中且满足严格内点可行条件．在合理的假设条件下，证明了算法的整体收敛性和局部超线性收敛速率．最后，数值结果表明了所提供的算法具有有效性．关键词非单调技术，仿射，信赖域MR(2000)主题分类90C30，65K05中囝法分类O221．2文献标志码A文章编号1000—8314(2

2、013)04—0499—141引言考虑下面非线性等式和有界约束优化问题：min‘厂()，(1．1a)s．t．c(x)=0，(1．1b)l≤茁≤(1．1c)这里f：一，C：一是二次连续可微函数．向量l∈(u{一∞})和∈(u{+。。))n是向量的上下界，使得int(f1)d-ef{lc()=0，l<

3、一阶必要条件，即存在∈，∈和1．J∈，使得g+A+一+=0，c(x)=0，(2一)=0，(u一+)=0，l≤X≤u，≥0，工／≥0，这里：g(x)=Vf(x)并且A：A(x)Vc()．本文2010年4月29日收到，2012年11月1日收到修改稿．常州大学数理学院，江苏常州213164．E—mail：yzhyzhang@163．COrn通讯作者．上海师范大学数理学院，上海200234．E．mail：dtzhu@shnu．edu．ca本文受到国家自然科学基金(No．10871130)和国家教育部博士点基金(No．200

4、93127110005)的资助500数学年刊34卷A辑等价地，忽视原始和对偶可行性，一阶必要条件等价于I(g+A)=0，若2<<，{(g+A)≥0，若i=(1．2)I(g+A)≤0，若=，这里，f和u分别是向量，z和札第i个分量．本文引入文[1]中一个指示函数P和其相关集合Aoo以至于不需要严格互补性条件．它们定义如下．定义1．1函数P：R一R+称为(1．1)的指示函数，如果对于独立点X∈Q满足(1．2)，下列性质成立：(i)P在X处连续；(ii)p(x)=0；(iii)=+∞．≠z定义1_2令∈Q和指标集I={1

5、，⋯，礼)，则称Io(x)={∈IIX。∈，Uz))(1．3)是有效指标集和／o0()={i∈Io(x)l(g+A)=0)(1．4)为退化指标集．为了方便，假定指示函数p(x)存在．利用函数p()，定义一个有效集Ao(x)Ao(x)={∈Il。一f。≤p(x)或钆。一。≤JD())={t∈IImin{x一f。，u一。)≤p())．(1．5)为了表示退化集，用到下列集合+()={∈Ao(x)1)(。()>p()}，(1．6)这里)(()是乘子函数定义为)(()=一U一()O。hVl(x，)和()=丽Oh·(丽Oh)+

6、G。()，≠0，hix)=一1+f+l2一f一I和G(x)=diag{h())．因此-2[00(X)=Ao(x)＼+()．(1．7)向量函数()对角线元素定义为--,~li=+钆07(m，否则，这里Vf=l(x，)9()+A(x)A，(V是向量f的第i分量和，y>0是一个常数)．从而，定义一个下面的仿射内点矩阵：D(x)d=efdiag(d()，⋯，dn())，(1．8)4期张勇朱德通NEC0问题的仿射信赖域方法501其中di)形式如下：若：~ieAoo(x),此外，令／9(x)d-~fdiag(d()，⋯，dn(

7、))．因此(1．2)等价于D()(9()+A()())=0，Lagrange乘子A(z)是下面最小二乘问题的解：nIIA()+9()ll()=rn115()(()A+g())l，即，求解下列方程：D(x)A(x)A(x)=一()()．令A(x)=D(x)A(x)和()=D()夕()，有()=一()()1一()()．根据上述条件，(1．10)的牛顿步Pk满足(Dl(xk，入)+Sk)p：一Dk(gk+AkAk)，其中；l(xk，％)=f(xk)+∑。c()，Sk=s(xk)=diag(sI()，··s()定义为S／I

8、，L，【／L，L，，I(){未(1(1∈铡(z))，若~i1EA。o。o(x1),111^1l1、．ll、9、0J、1、2、3J，、4J、5JD作用于(1．13)的两边，得到加m(DkGkDk+Sk)b[Pk=一Dk(gk+AkAk)，这里G是矩阵l(xk，)的一个近似．根据(1．15)，定义一个带等式约束的二次模型，其中=P，P％是(1．13)的一个解ra