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1、IIR滤波器的DSP实现一、IIR滤波器的基本结构IIR滤波器差分方程的一般表达式为:yn=i=0Nbixn-i-i=1Maiy(n-i)式中x(n)为输入序列;y(n)为输出序列;ai和bi为滤波器系数.若所有系数ai等于0,则为FIR滤波器.IIR滤波器具有无限长的单位脉冲响应,在结构上存在反馈回路,具有递归性,即IIR滤波器的输出不仅与输入有关,而且与过去的输出有关.将上式展开得出y(n)表达式为:yn=b0xn+b1xn-1+…+bNxn-N-a1yn-1-a2yn-2-…-aMyn-M在零初始条件下,对上式进行z变换,得到:Yz=b0Xz+b1z-1Xz+…+
2、bNz-NXz-a1z-1Yz-a2z-2Yz-…-aMz-MYz设N=M,则传递函数为:Hz=Y(z)X(z)=b0+b1z-1+…+bNz-N1+a1z-1+…+aNz-N上式可写成:Hz=b0zN+b1zN-1+…+bNzN+a1z-1+…+aN=Ci=1Nz-ziz-pi上式具有N个零点zi和N个极点pi.若有极点位于单位圆外将导致系统不稳定.由于FIR滤波器所有的系数ai均为0,不存在极点,不会造成系数的不稳定.对于IIR滤波器,系统稳定的条件如下:若
3、pi
4、<1,当n→∞时,h(n)→0,系统稳定;若
5、pi
6、>1,当n→∞时,h(n)→∞,系统不稳定.IIR
7、滤波器具有多种形式,主要有:直接型(也称直接I型)、标准型(也称直接II型)、变换型、级联型和并联型.二阶IIR滤波器,又称为二阶基本节,分为直接型、标准型和变换型.对于一个二阶IIR滤波器,其输出可以写成:yn=b0xn+b1xn-1+b2xn-2-a1yn-1-a2yn-21.直接型(直接I型)根据上式可以得到直接二型IIR滤波器的结构图.如图1所示.共使用了4个延迟单元(z-1).图1直接I型二阶IIR滤波器直接型二阶IIR滤波器还可以用图2的结构实现.图2直接I型二阶IIR滤波器此时,延时变量变成了w(n).可以证明上图的结构仍满足二阶IIR滤波器输出方程.前向
8、通道:yn=i=02biw(n-i)1.1反馈通道:wn=xn-j=12ajwn-j1.2将1.2式代入1.1式可得:yn=i=02bi[x(n-i)-j=12ajw(n-i-j)]=i=02bix(n-i)-i=02bij=12ajw(n-i-j)=i=02bix(n-i)-i=02ajj=12biw(n-i-j)=i=02bix(n-i)-j=12ajy(n-j)2.标准型(直接II型)从图2可以看出,左右两组延迟单元可以重叠,从而得到标准二阶IIR滤波器的结构图,如图3所示.由于这种结构所使用的延迟单元最少(只有2个),得到了广泛地应用,因此称之为标准型IIR滤波
9、器.图3标准型二阶IIR滤波器二、IIR滤波器的设计IIR滤波器的设计可以利用模拟滤波器原型,借鉴成熟的模拟滤波器的设计结果进行双线性变换,将模拟滤波器变换成满足预定指标的数字滤波器,即根据模拟设计理论设计出满足要求的传递函数H(s),然后将H(s)变换成数字滤波器的传递函数H(z).设计IIR滤波器的基础是设计模拟滤波器的原型,这些原型滤波器主要有:①巴特沃兹(Butterworth)滤波器,其幅度响应在通带内具有最平特性;②切比雪夫(Chebyshev)滤波器,在通带内具有等波纹特性,且阶数小于巴特沃兹滤波器.③椭圆(Elliptic)滤波器,在通带内具有等波纹特性
10、,且阶数最小.将模拟滤波器转换为数字滤波器常用的方法是双线性变换,其作用是完成从s平面到z平面的一个映射.其关系为:s=z-1z+1(2.1)z=1+s1-s(2.2)双线性变换的基本性质如下:①s平面上的jω轴映射到z平面的单位圆上;②s平面的左半平面映射到z平面的单位圆内;③s平面的右半平面映射到z平面的单位圆外.考虑到s平面上的虚轴映射为z平面的单位圆,令s=jωA,它代表一个可变的模拟频率.其z平面上相应的数字频率为ωD,即z=ejωDT,将以上两式代入2.1式得:jωA=ejωDT-1ejωDT+1=ejωDT2(ejωDT/2-e-jωDT/2)ejωDT2
11、(ejωDT2+e-jωDT/2)对上式求解得:ωA=arctanωDT2(2.3)模拟频率ωA和相应的数字频率ωD之间的映射关系如图4所示:图4ωA和ωD之间的映射关系当ωA在0~1之间变化时,ωD在0~ωD4之间变化,ωs为采样频率:当ωA>1时,其对应的ωD在ωD4~ωD2之间.双线性变换会造成频率失真,通常采用预畸变来补偿频率失真.双线性变换设计的步骤如下:①选择一个合适的模拟传递函数H(s);②对截止频率或预定的数字频率ωD进行畸变,并根据式2.3求得相应的模拟频率ωA;③用ωA对H(s)中的频率进行换算,即:Hs
12、s=s/ωA
