等差、等比列复习.doc

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1、数列复习【教学内容】等差、等比数列的定义，性质，通项及求和公式，并能运用它们去解决数列中基本的运算问题。【教学目标】1、等差数列、等比数列的概念及通项公式，前n项和的计算公式是学习好数列的基础。首先我们要熟练掌握数列的概念，理解通项及求和公式推导的思想方法，在掌握公式的基础上，熟练掌握由已知n、an、d(q)、a1、sn中的某三个量，如何去计算另二个量的问题。2、能灵活地运用等差、等比数列的性质，如在等差数列中：（1）当m+n=p+q时，am+an=ap+aq（2）等差数列中任一项都是与它等距离的前后两项的等差中项

2、（3）等差数列中每k项的和仍为等差数列，公差为k2d等性质及等比数列中的相关性质，来解决具体问题。3、由于等差数列中sn是n的二次函数（其中d≠0）且常数项为零，因此当a1>0、d<0时sn有最大值，当a1<0,d>0时sn有最小值，求sn的最值时，可以讨论数列中项的符号或利用二次函数求最值的方法来解决。4、等差等比数列的知识还常运用于函数、方程、不等式、三角及几何等问题，我们要能灵活运用数列的概念及性质来解决这些数学问题。【知识讲解】例1、等差数列{an}中，a2+a4+a6+a12+a20+a32=18，求a8+

3、a13+a17分析：由等差数列性质可知，等差数列中的任一项都是与它等距离的前后两项的等差中项，则a2+a32=2a17，a4+a12=2a8，a6+a20=2a13∴2(a8+a13+a17)=18∴a8+a13+a17=9例2、在等比数列{an}中，a1+an=66,a2·an－1=128,sn=126，求n、q。分析：因为{an}为等比数列，所以由等比数列的性质：若m+n=p+q,则am·an=ap·aq可知a2·an－1=a1·an，代入已知条件可求出a1、an，知道了a1、an、sn用通项及求和公式就可以求

4、出n与q了。解：∵数列{an}为等比数列，∴a2·an－1=a1·an,∴a1+an=66∴a1、an是方程　　a1·an=128x2－66x+128=0的两根，∴a1=2a1=64或an=64an=2当a1=2,an=64时，由可得，∴q=2,n=6同理，当a1=64,an=2时可及q=,n=6例3、四个正数，前三个成等差数列，其和为48，后三个成等比数列，最后一数为25，求这四个数。解：设此四个数为a－d、a、a+d、25，∵(a－d)+a+(a+b)=48,∴a=16,又后三个数成等比数列，∴（a+b）2=25

5、a，即(16+d)2=25×16,∴d2+32d－144=0,d=4或d=－36（舍去），所以四个正数为：12、16、20、25。说明：当几个数成等或等比数列时，我们可以利用对称性质性设出这n个数。如三个数成等差数列时，可设为a－d、a、a+d，当四个数成等差数列时，可设为a－3d,a－d,a+d,a+2d等比数列也是类似的，这样设出来的n个数具有对称性，往往会给计算带来方便。例4、已知两个等差数列，它们的前n项和之比为，求这两个数列的第9项之比。解：设这两个等差数列分别为{an}、{bn}它们的前n项和分别为sn,

6、sn’,由等差数列的性质可知a9=∴说明：这里灵活地运用了等差数列的性质：等差数列中的任一项都是与它等距离的前后两项的等差中项及等差数列的求和分式一般地，若{an}、{bn}均为等差数列，前n项和分别为Sn、Sn＇，且，则例5、若两个方程x2-x+a=0，x2-x+b=0的四个根构成以为首项的等差数列a>b，试求a、b的值。解：设四个根以，+d，+2d，+3d，因为每个方程的两根之和均为1，∴+(+3d)=(+d)+(+2d)=1∴d=,∴b=·d=例6、已知△ABC中，三内角A、B、C的度数依次成等差数列，三边长

7、a、b、c依次成等比数列，试判断△ABC的形状。证法一、∵A、B、C成等差数列,∴2B=A+C，又A+B+C=180°，∴B=60°A+C=120°∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac,由正弦定理知sin2B=sinA·sinC,∴sinA·sinC=,积化和差得：cos(A+C)－cos(A－C)=－，∴cos(A－C)=1,在△ABC中，A－C∈(－π,π)，∴A－C=0，A=C=60°，∴△ABC为等边三角形。证法二：∵A、B、C成等差数列，∴B=60°，∵b2=ac,∴a2+c2－2ac·cos60°=ac,

8、即a2－2ac+c2=0,∴(a－c)2=0,∴a=c,所以△ABC为等边三角形。例7、在等差数列{an}中，若sp=q,sq=p,求：Sp+q（其中p≠q）分析：sp+q=（p+q）a1+,因此要求sp+q,关键要根据条件，计算出的值，而由等差数列的求和公式可知，只要把sp=q,sq=p两式相减即可。解：∵sp=q,sq=p，∴(1)(1)－