高中数学 2.2《线性变换的基本性质》教案 湘教版选修4-2.doc

《高中数学 2.2《线性变换的基本性质》教案 湘教版选修4-2.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、§2.2线性变换的基本性质教学目标:一、知识与技能：会证明定理1和定理2；理解矩阵变换把平面上的直线变成直线，即＝二、方法与过程分析可逆的线性变换将直线变成直线，平行四边形变成平行四边形这一结论，得到定理1和定理　2的证明，寻求线性变换在向量上的作用等式。三、情感、态度与价值观感受数学活动充满探索性和创造性，激发学生乐于探究的热情。增强学生的符号意识，培养学生的逻辑推理能力。教学重点:定理的探究及证明教学难点：定理的探究教学过程一、复习引入：1、基本概念（1）二阶矩阵：由四个数，，，排成的正方形数表称为二阶矩阵。特别地，称二阶矩阵为零矩阵，简记为0。称二阶矩阵为二阶单位矩

2、阵，记为。（2）向量：向量（）是一对有序数对，叫做它的两个分量，且称为列向量，（）为行向量。同时，向量、点以及有序实数对三者不加区别。2、败类特殊线性变换及其二阶矩阵（1）线性变换在平面直角坐标系中，把形如（其中，，，-6-用心爱心专心为常数）的几何变换叫做线性变换。（2）旋转变换坐标公式为，变换对应的矩阵为（3）反射变换①关于的反射变换坐标公式为对应的二阶矩阵为；②关于的反射变换坐标公式为对应的二阶矩阵为；③关于的反射变换坐标公式为对应的二阶矩阵为；（4）伸缩变换坐标公式为对应的二阶矩阵为；（5）投影变换①投影在上的变换坐标公式为对应的二阶矩阵为；②投影在上的变换坐标公

3、式为对应的二阶矩阵为（6）切变变换①平行于轴的切变变换坐标公式为对应的二阶矩阵为②平行于轴的切变变换坐标公式为对应的二阶矩阵为二、新课讲解定理1　设A＝，，，，是实数。则以下公式成立：（1）A（）＝（A）（2）A＋A＝A（＋）-6-用心爱心专心（1）A（＋）＝A＋A证明：（1）A（）＝＝＝＝（A）（2）A＋A＝＋＝＋＝＝＝＝A（＋）（3）A（＋）＝A（）＋A（）＝A＋A由定理1还得出：A（）＝A＋A（）＝A-A由定理1还可翻译为线性变换在向量上作用的等式；；＝定理2　可逆的线性变换具有如下性质：（1）直线仍变成直线；（2）将线段仍变成线段　（3）将平行四边形变成平行四边形

4、证明：设可逆线性变换A的矩阵为A。设，，为平面三个不同的点，为平面上任意一点，点，，，，分别初恋换A变到点，，，如图所示。设，，，，，，，的坐标分别是，，，，，，，则＝A，＝A，＝A，＝A设，不重合，决定一条直线和一条线段由于A是可逆变换，，也不重合，也决定一条直线和一条线段-6-用心爱心专心（1）点在直线上存在实数使＝-=(-)A(-)=A(-)A-A=(A-A)-=(-)=在直线上因此，A将直线变成直线（2）点点在线段上存在实数使且＝重复（1）的计算，知道＝=在线段上这说明A将线段变成线段（3）设四边形是平行四边形，则＝，并且直线与直线不重合。由于A是可逆变换，直线与

5、直线不重合。并且，由（2）的结论，四边形的四条边，，，分别变成4条线段，，，，这4条线段围成一个四边形且由＝-＝-A（-）＝A（-）A-A＝A-A＝-＝-＝知道是平行四边形。三、例题解析例1、对矩阵A＝，向量＝，＝，验证以下等式成立　（1）；　　（2）A（）＝A-6-用心爱心专心解：（1）（＋）＝＝＝+＝+＝∴（2）A（）＝＝A＝＝＝∴A（）＝A例2、直线经过点A（1,0）和B（1,1），考查矩阵M把直线变成什么图形？思路点拔：考虑在矩阵M对应变换下点A，B所得的点A1.和B1，确定图形形状解：＝　　　　＝即在矩阵M的作用下点A变成点A，点B（1,1）变成点B1（2,1）

6、M＝M－M＝－＝即变成，由于A和B1不重合，，所以，矩阵M把直线变成了经过点A和B1的直线例3、梯形OABC的顶点为A（2，0）B（2，3），C（0,2），且AB∥OC，求证：梯形OABC在M＝矩阵对应的变换作用下得到的图形仍是梯形。证明：由＝；　　　＝；＝；　　＝所以在矩阵M的作用下点O,A,B,C分别变成点O，A1（2，），B1（8,），C1（4，）-6-用心爱心专心＝（6，），　　　＝（4，）＝，即A1B1∥OC1平行且不相等所以梯形OABC在M＝矩阵对应的变换作用下得到的图形仍是梯形。四、课堂练习1、给定矩阵M＝，考查该矩阵抒经过点A（2，1）垂直于轴的直线变成什

7、么？2、已知△ABC的顶点坐标分别是A（0,0），B（1，），C（0,2），求证：在矩阵变换下△ABC仍是三角形。五、小结1、矩阵既可以对点进行线性变换，也可以对向量进行线性变换，共线向量在矩阵对应的线性变换作用下所得到向量仍共线，且所成比例不变2、可逆变换保持图形性状不变，直线变成直线，平行直线变成平行直线，相交直线变成相交直线等；而不可逆变换则有可能改变图形形状，直线变成点，矩形变成线段。六、课后作业：课本35页　习题2教学反思：-6-用心爱心专心